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1、1,大学物理,山东省精品课程,山东轻工业学院 数理学院,2,第五章 刚体力学基础 动量矩,5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 5.4 动量矩和动量矩守恒定律,本章内容：,3,教学基本要求,一、理解描写刚体定轴转动的角速度和角加速度的物理意义， 掌握角量与线量的关系。,二、理解力矩和转动惯量概念,掌握刚体绕定轴转动的转动定律。,4,三、理解动量矩概念,掌握动量矩定理,能处理一般质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的动量矩守恒问题。,能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题。,四、理解刚体定轴转动的转动动
2、能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律。,5,5.1 刚体和刚体的基本运动,一、刚体的概念,在力的作用下, 物体的大小和形状都保持不变，称为刚体。,刚体是特殊的质点系, 是理想化物理模型。,二、刚体的平动和定轴转动,1. 刚体的平动,刚体运动时,在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行。,PD,6,各点运动状态一样，如： 都相同。,刚体的平动可归结为质点运动。,刚体的平面运动,特点:,7,转动：分定轴转动和非定轴转动.,8,刚体的一般运动可看作：,随质心的平动 + 绕质心的转动的合成。,9,2. 刚体的定轴转动,角坐标,描述刚体绕定轴转动的角量,刚体内各点都绕同一直线
3、(转轴)作圆周运动,而刚体转动时, 转轴固定不动。,角速度,角加速度,角位移,10,刚体定轴转动的特点：,离转轴不同距离质点的线量 不同。,由于,(1)刚体上每一质点均作圆周运动，运动圆面为转动平面；,(2) 任一质点运动的角量 相同。,11,3. 刚体绕定轴的匀速和匀变速转动,刚体绕定轴转动时，若 ，刚体绕定轴的匀速转动。,若 ，刚体绕定轴的匀变速转动。,匀速转动,匀变速转动,12,4. 绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度,任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同。,角量与线量关系,13,角速度 的方向由右手定则确定。,规定：,逆时针转动, 0, 沿转轴向上, 0 。,顺时针转动, 0,
4、 沿转轴向下, 0 。,刚体作定轴转动时, 角速度与角加速度的方向,14,角加速度的方向用正负表示。,1, 0, 0,1, 0, 0,设1 ,2 同向，= 2 -1 。,加速转动,2,2,减速转动,15,例1一飞轮的半径为 0.2m, 转速为150转分 , 经30s均匀减速后停止。 求: (1)角加速度和飞轮转的圈数。 (2) t = 6s时的角速度;飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。,解：,（1）,16,飞轮在30s内转过的角度为：,飞轮在30s内转过的圈数为：,17,(2) t = 6 s 时的角速度：,线速度：,切向加速度：,法向加速度：,飞轮边缘上一点,18,例2 设圆柱
5、型电机转子由静止经300s后达18000r/min已知转子的角加速度与时间成正比。 求: 转子在这段时间内转过的圈数。,由定义, 得,解：,因角加速度 随时间而增大,设,19,两边积分,由题意,所以,20,由角速度的定义：,得到：,转子300s内转过的圈数：,任意时刻的角速度,21,5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,一、力矩,力:,改变质点的运动状态,质点获得加速度。,力矩：,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。,1. 力 F 对z 轴的力矩,h,A,(力F 在垂直于轴的平面内),22,力不在垂直于轴的平面内,2.力对点的力矩,大小,方向由右螺旋法则确定。,23,力对定轴力矩的矢量形式,
6、A,方向由右螺旋法则确定。,24,二、刚体绕定轴转动微分方程,作用在 上的外力 ，内力,z,o,在圆规迹切线方向,两边乘以rk，并对整个刚体求和,25,其中 称为合外力矩 ；,令 ，称为刚体对z轴的转动惯量。,内力矩之和为零；,则,或,26,刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用在刚体上所有外力对该轴力矩的代数和。, 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。,27,两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效应的。,(2) m反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性。,(1) 转动定律与牛顿第二定律比较
7、：,讨论,28,三、转动惯量,刚体质量不连续分布,刚体质量连续分布,确定转动惯量的三个要素:,(1) 总质量； (2) 质量分布； (3) 转轴的位置。,29,1. J 与刚体的总质量有关,例如, 等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量。,30,2. J 与质量分布有关,例如, 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。,31,例如 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。,32,3. J 与转轴的位置有关,33,4. 平行轴定理,刚体绕任意轴的转动惯量；,刚体绕通过质心的轴的转动惯量；,两轴间垂直距离。,34,5. J 的计算,（1）按定义计算,例1求长为L质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解: 取如图坐标
8、，dm = dx,35,36,求图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆盘半径为R）,(棒对边缘轴),(圆盘对中心轴),(圆盘对棒边缘轴),37,(2) 用平行轴定理、迭加法,(3) 实验法 如三线扭摆法。,J = J 大 J 小,J = J 大 + J 小,38,例1 求质量为m、半径为R、厚为h 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解: 取半径为r宽为dr 的薄圆环:,圆环质量:,圆环转动惯量:,39,转动惯量与 h无关. 实心圆柱对其轴的转动惯量也是,圆盘转动惯量:,圆盘密度:,40,例3 求质量为m、半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面
9、垂直并通过圆心。,解：,J 是可加的,若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,R,O,dm,41,(1) 飞轮的角加速度。,四、转动定律的应用举例,求:,例1一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。,42,解 (1),(2),两者区别?,43,例2 一定滑轮质量为 m，半径为 r , 不能伸长的轻绳两边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上, m1 m2, 绳与滑轮间无相对滑动。设轮轴光滑无摩擦, 滑轮的初角速度为零。,求:滑
10、轮转动角速度随时间变化的规律。,44,解:以m1 ,m2 ,m 为研究对象,受力分析,滑轮 m：,m1：,m2：,45,例3一根长为l、质量为 m 的均匀细直棒, 其一端有一固定的光滑水平轴, 因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在竖直位置, 由于微小扰动, 在重力作用下由 静止开始转动。 求:它由此下摆角时的 角加速度和角速度。,P,O,l,46,解: 棒下摆为加速过程, 外力矩为重力对O的力矩。重力作用在棒重心, 当棒处在下摆 角时, 重力矩大小为：,重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。 因此棒绕轴O的转动惯量为：,47,棒处于角时：,而,作变换：,两边积分：,角速度：,