第五章刚体的转动.ppt

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1、1,第五章 刚体的转动,（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）,2,5.1 刚体的运动,5.2 刚体的定轴转动定律,5.3 转动惯量的计算,5.4 转动定律应用举例,5.6 定轴转动中的功能关系,5.5 刚体定轴转动的角动量守恒定律,本章目录,3,刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。,5.1 刚体的运动,一. 刚体（rigid body）的概念,我们把这种不能变形的物体称为刚体。,质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。,显然，刚体是个理想化的模型，但是它有实际的意义。,4,的直线在运

2、动各个时刻的位置都彼此平行。,二 . 刚体的运动形式,1.平动（translation）：,连接刚体内任意两点,选取参考 点O，则：,对（1）式求导：,5,刚体做平动时，它的各质元运动轨迹都一样，而且在同一时刻，它们的速度和加速度也都相等。因此可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。,2.转动（rotation）：,转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。, 定轴转动：,圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。,运动中各质元均做圆周运动，且各,6, 定点转动：,整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。,运动中刚体上只有一点固定不动，,如陀螺。,7,3.一般运动：,刚体不受

3、任何限制的的任意运动。,它可分解为以下两种刚体的基本运动：, 随基点O（可任选）的平动, 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动,转动与基点的选取无关。,两种分解，基点选取不同，,例如：,平动可以不同，,动力学中，常选质心为基点。,转动却相同，,或,8,三 . 刚体转动的描述（运动学问题）,1.定点转动（rotation about a fixed point）,（1）角量的描述,为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢,和转向，引入角速度矢量,与转向成右螺旋关系。,的方向沿瞬时轴，,9,（不一定沿着瞬时轴）,为反映 的变化情况，引入角加速度矢量 。,（2）线量和角量的关系,10,2.定轴转动（rotati

4、on about a fixed axis）,转轴固定，,11,5.2 刚体的定轴转动定律,12,13,14,因为各质元角动量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加,15,16,5.3 转动惯量的计算,J 由质量对轴的分布决定。,17,例1 求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,18,例2 求质量为m、半径为R、厚为h 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r 宽为dr 的薄圆环,可见，转动惯量与 h 无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2 。,19,例

5、3 求长为l 、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,同一刚体对不同的轴转动惯量不同！,20,一. 常用的几种转动惯量表示式,21,二. 计算转动惯量的几条规律,1.对同一轴J具有可叠加性,答案：,22,2.平行轴定理,刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平 行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量m乘以两平行转 轴间距离d的平方。,23,例,3.对薄平板刚体的正交轴定理,即,如图,24,例求对薄圆盘的一条直径的转动惯量，,已知圆盘,解：,思考,下图中的 Jz 如何求？,25,用求导的方法,积分加初始条件,刚体定轴转动的两类问题：,5.4 转动定律应用举例,2

6、6,已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0，,h =1.5m，,滑动，,下落时间 t =3s。,求：轮对 O 轴 J =？,解：,动力学关系：,对轮：,对m：,运动学关系：,(3),(4),(1),(2),绳轮间无相对,27,(1)(4)联立解得：,分析结果：, h、m 一定，J t，, 若J = 0，得,代入数据：,正确。,合理；,此为一种用实验测转动惯量的方法。,28,例2. 一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 Mr ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的

7、加速度和绳的张力。,已知： m1，m2 ，m， R ，Mr,求：,29,解: 研究对象 m1 ，m2 ，m,建立坐标，受力分析 如图,对各隔离体写出运动方程：,对m1 ：,对m2：,对m：,又：,30,联立求得：,注意：当不计滑轮的质量 及摩擦阻力时：,这便是中学所熟知的结果,问：如何求角加速度？,根据 可求得,31,例3 电风扇在开启电源后，经过 时间达到了额定转速，此时相应的角速度为 。当关闭电源后，经过 时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为J，并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据已知量推算电机的电磁力矩。,32,在 内,解：,关闭电源后， 经过 时间,结果：,33,例4 转

8、动着的飞轮的转动惯量为J，在 时角速度为 。此后飞轮经历制动过程。 阻力矩的大小与角速度的平方成正比，比 例系数为 （ 为大于零的常数）。当 时，飞轮的角加速度 从开始制 动到 所经历的时间,34,解：,（1）当 时，飞轮的角加速 度,时,（2）从开始制动到 所经历的时间,35,设开始制动的时刻为,36,例5 有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为 ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？,37,解：,38,作业：P286 287 5.2 5.9 5.12 5.15,39,5.5 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律,讨

9、论力矩对时间的积累效应。,质点系：,对点：,对轴：,刚体：,刚体定轴转动的角动量定理,40,刚体定轴转动的角动量守恒定律：,对刚体系， M外z = 0 时， ，,此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。,定轴转动角动量守恒定律： 刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零 时，刚体对转轴的角动量保持不变。,41,42,克服直升飞机机身反转的措施：,装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,43,1. 适用于刚体，非刚体和物体系。,说明：,2. 质点角动量,刚体角动量,3. 有刚体时切忌用动量守恒，只能用角 动量守恒,44

10、,例,45,46,5.6 定轴转动中的功能关系,一. 力矩的功,力矩的空间积累效应：,力矩的功：,47,二. 定轴转动动能定理,令转动动能：,刚体定轴转 动动能定理：,类比：,内,A内力矩,？,48,三. 刚体的重力势能,一个不太大的刚体的重力势能 = 它的全部 质量集中在质心时所具有的势能,：刚体质心与重力势能零点（地面）的高度差,49,四. 刚体定轴转动的功能原理,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。,将重力矩作的功用重力势能差表示：,若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能守恒。,50,例1已知：如图示，,。,求： 杆下摆到 角时，,解：,（杆+地球）系统，,(1),(2

11、),(1)、(2)解得：,只有重力作功，,E守恒。,角速度,轴对杆作用力,均匀直杆质量为m，长为l，,初始水平静止。,轴光滑，,51,应用质心运动,(3),(4),(5),(6),定理求轴力：,52,由(3)(4)(5)(6)解得：,53,例2 如图示，,求：碰撞后的瞬刻盘,P 转到 x 轴时盘,解：,m下落：,(1),对（m +盘），碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，,(2),已知：h，R，M=2m， =60,系统角动量守恒：,54,(3),对（m + M +地球）系统，,令P、x 重合时 EP = 0，则：,(5),由(3)(4)(5)得：,由(1)(2)(3)得：,(4),只有重力作功，E守

12、恒。,（m +盘）角动量,55,例3 质点与质量均匀的细棒相撞(如图),解：过程1 质点与细棒相碰撞 碰撞过程中系统对o 点 的合力矩为,设，完全非弹性碰撞,求：棒摆的最大角度,所以，系统对o点的角动量守恒。 即，,56,细棒势能,质点势能,过程2 质点、细棒上摆 系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。 设末态为势能零点,两式联立得解,57,例4 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度V0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求 （1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；

13、 （2）经过多少时间后，圆盘停止转动？（忽略子 弹重力造成的摩擦阻力矩）,58,（1）,解：,子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度,子弹和圆盘在碰撞前后角动量守恒,59,（2）经过多少时间后，圆盘停止转动,解一：,根据定轴转动定律,60,解二：,对（圆盘+子弹）应用角动量定理,61,例5 一匀质细棒长为2L，质量为m。以与棒长方向相垂直的速度V0，在光滑水平面内平动。与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞。碰撞点位于棒中心的一方L/2处，如图所示。求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动时的角速度？,62,解：,碰撞前后角动量守恒。,计算碰撞前瞬时，杆对点O的角动量大小,棒上所有点角速度不同但有相等的平

14、动速度。,在棒上任意处取质量元,特点：,质量元相对O点的角动量大小,63,棒上所有点平动速度不同，但有相等的角速度。,计算碰撞后瞬时，杆对点O的角动量大小,特点：,64,例6 一质量为m长为L的均匀细棒OA可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时,（1）质心C和端点A的线速度； （2）质心C的线加速度。,解法一（1）研究对象：细棒,受力分析：,（ 不考虑）,力矩,动能定理：,= 0,65,方向：向左,因竖直位置M=0 =0,（2）,66,研究对象：细棒 受力分析：mg （不考虑N）,解法二 用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功）,解法三 用运动

15、方程 （转动定律）求解：,运动方程：,67,例7 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为0。质量为m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对与环的速度各为多少？,68,（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径 ）,小球受力：,环受力：,重力、与轴、与小球 之间作用力,对所有力的力矩分析可知：两物体所受力关于 轴 的力矩均等于零。,69,对B点有:,选小球和环为系统，由于他们在运动过程中，在OO轴向所受合外力矩为零，OO轴方向角动

16、量守恒。,70,选（小球+环+地球） 为系统，,则系统机械 能守恒。,取过环心的水平面为势能零点。,71,对于C点有,72,例8 如图所示，一半径为R，质量为m的水平圆台，正以角速度0绕通过其中心竖直且固定的光滑轴转动，转动惯量为 。台上原站有两人，质量各等于转台质量的一半，一人站于台边A处，另一人站于距台中心 的B处。今A处的人相对于原台以速率V顺着圆台转向沿圆周走动，同时B处的人相对于原台以速率2V逆圆台转向沿圆周走动。求圆台这时的角速度。,73,例8 解答,（转台+二人）对转轴角动量守恒,走动前,台,A处人,B处人,74,走动后,台,A处人,B处人, 结果：,75,刚体定轴转动与质点一维运动的对比,位移,角位移,速度,角速度,加速度,角加速度,质点一维运动,刚体定轴转动,质量,转动惯量,力,力矩,运动定律,转动定律,角动量,角动量,动量定理,角动量定理,动量守恒定律,角动量守恒定律,动量,动量,76,力的功,力矩的功,动能,转动动能,动能定理,转动动能定理,重力势能,重力势能,机械能守恒定律,机械能守恒定律,77,作业：P287288 5.17 5.19 5.20,78,作业解答P225 227 4.2,79,4.3,80,4.4,81,4.9 当以物体的平衡位置为竖直y轴的坐 标原点，且物体的位置坐标为y时,82,83,84,