第五章图形变换.ppt

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1、第五章 图形变换,数学基础：矢量、 矩阵及运算 图形二维变换 图形三维变换 光栅变换,5.1变换的数学基础,矢量 矢量和,5.1变换的数学基础,矢量的数乘 矢量的点积 性质,5.1变换的数学基础,矢量的长度 单位矢量 矢量的夹角,5.1变换的数学基础,矢量的叉积,叉乘的图形如图4.4,性质如下: (1). (2).矢量 UV垂直于矢量U 和V,三矢量的方向遵从右手系。,矩阵的含义 矩阵：由mn个数按一定位置排列的一个整体，简称mn矩阵。,A=,其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素,5.1变换的数学基础,矩阵运算 加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵 A+B = 数乘 kA = k*

2、aij|i=1.m, j=1, n,5.1变换的数学基础,乘法 矩阵A的列数和矩阵B的行数相同时可以相乘. C = A B = C=Cmp = Am n Bnp cij = aik*bkj 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In 。 Am n = Am n In,k=1,n,5.1变换的数学基础,逆矩阵 若矩阵A存在AA-1=A-1A=I，则称A-1为A的逆矩阵 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)mn的行和列互换而得到的nm矩阵称为A的转置矩阵,记作AT 。 (AT)T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = a

3、AT (AB)T = BT AT 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则A是对称矩阵。,5.1变换的数学基础,矩阵运算的基本性质 交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C 数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A,5.1变换的数学基础,矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C) = (A B)C (A+B) C = A C+ B C C (A+B) = C A + C B 矩阵的乘法不适合交换律,5.1变换的数学基础,所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一

4、个n维向量。如n维向量(P1,P2, ,Pn)表示为（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h齐次坐标 由齐次坐标h普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。,齐次坐标,齐次坐标,(x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线,1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把

5、二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（x h, y h, h)，令h等于0 3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。(图形拓扑关系保持不变） 4. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现,齐次坐标的作用,图形的几何变换,图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。 图形变换的两种形式： 1.图形不变，坐标系改变； 2.图形改变，坐标系不变。,1.二维平面上点的表示法,改变顶点坐标, 也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。,2.

6、 图形变换的矩阵表示,一对坐标(x,y),一个向量x y,设: 点P(x,y),点P (x, y),其数学表达方法,矩阵表达方法,5.2 二维图形变换,5.2.1 平移变换,以坐标原点为放缩参照点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它离原点的距离,5.2.2 放缩变换,就是将图形放大或缩小的变换方法。,变换式为：,讨论：,1. Sx Sy1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换,2. Sx Sy1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。,3. Sx Sy1，点的位置变了、图形缩小了Sy倍。,4. Sx Sy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀比例变换。,5.2.2 放缩变换,其矩阵表示法：

7、,5.2.3 绕坐标原点的旋转变换,2.关于y轴,3.关于45度平分线,4.关于-45度平分线,5.关于坐标原点,1.关于x轴,5.2.4 对称变换,5.2.4 对称变换,1.沿X轴方向的错切变换,5.2.5 错切变换,(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;,(2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;,(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段,(4)X轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。,(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标值发生线性变化;,(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴;,(3)平行于X轴的线段变换后错切成与X

8、轴成角的直线段,(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。,2. 沿Y轴方向的错切变换,5.2.6 变换通式,二维图形变换矩阵的通式T:,5.2.6 变换通式,(1)复合平移,(2)复合比例,组合变换:由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换,又称基本变换的级连.,5.2.7 二维组合变换,(3)复合旋转,先平移,再旋转,先旋转,再平移,级联的顺序不同,最终的图形不同,由于矩阵乘法不满足交换率,(4)级联顺序对组合变换的影响,3. 将图形从原点平移到p(m,n),1.将图形从点p(m,n)平移到原点O,2.绕原点旋转,（1）,（2）,（3）,(5)绕平面上任意点P(m

9、,n)的二维旋转变换,T1*T2*T3,T,=,=,绕平面上任意点p(m,n)的二维旋转变换的总变换矩阵,设直线方程 Ax+By+C =0,则：x轴上的截距为 -C/A y轴上的截距为 -C/B 斜率为 -A/B,2.让直线绕原点顺时针旋转角， 使之与X 轴重合,1.将直线沿X轴平移C/A， 使之过原点,对任意直线的对称变换可分解为以下五步:,(6)对任意直线的对称变换,3.图形对直线的对称变换 变成对x轴的对称变换,4.让直线绕原点逆时针旋转角， 恢复到原来的倾斜位置,5.将直线平移回原来的位置,组合变换矩阵,关于任意轴的对称变换,三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵,比例、反射、旋转、错

10、切,平移,投影变换,总体比例变换,空间点x y z 的四维齐次坐标 X Y Z H表示,三维空间点的变换为,x y z 1 T = x y z 1,变换前点的坐标,变换后点的坐标,三维图形的变换矩阵,l m n 1 x 3,p q rT,s1x1,5.3 三维图形变换,三维图形基本变换,5.3.2 轴向比例变换,变换矩阵主对角线上的元素a、e、j、s的作用是是图形产生比例变换。,0S1，为图形整体放大,S1，为图形整体缩小,S0，为对称变换比例变换,S1，为恒等变换,x y z 1 T = x y z s=x/s y/s z/s 1,x y z 1 T = ax ey jz 1=x y z 1

11、,若a=e=j,，则图形三方向的缩放比例相同,若aej,，则图形将产生类似变形,5.3.1 全比例变换,比例变换,1.对OXY平面的反射,特点：x y 值不变，z坐标符号改变,x y z 1 T = x y -z 1,2.对YOZ平面的反射,特点：z y 值不变，x坐标符号改变,x y z 1 T = -x y z 1,3.对XOZ平面的反射,特点：x z值不变，y坐标符号改变,x y z 1 T = x -y z 1,5.3.3 对称变换,指空间的立体从一个位置移动到另一位置时，其形状、大小都不发生变换的变换。,x y z 1 T = xl y+m z+n 1,5.3.4 平移变换,例：一单

12、位立方体，现将它沿x方向移动3单位，y方向移动2单位，z方向移动3.5单位,S*T=,=,三维旋转变换指空间立体绕一轴旋转角，且角的正负按右手定则决定。,1.绕X轴旋转 角,X坐标不变,Y、Z坐标发生变化,2.绕Y轴旋转 角,Y坐标不变,X、Z坐标发生变化,3.绕Z轴旋转 角,Z坐标不变,X、Y坐标发生变化,5.3.5 旋转变换,绕y轴旋转90,5.3.5 旋转变换,例： 设三维空间中有一条任意直线，它由直线上一点Q和沿直线方向的单位方向向量n确定。Q点坐标为 , 直线向量 求绕这条直线旋转 角的旋转变换矩阵。,绕任意轴的旋转变换,基本思想：因任意轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴

13、重合，然后进行旋转角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。,过坐标原点的任意直线为旋转轴的旋转变换可分为五步实现：,(1)做绕X轴旋转 角的变换，使旋转轴落在Y=0上。 (2) 做绕Y轴旋转 角的变换，使旋转轴与Z轴重合。 (3) 做绕Z轴旋转 角的旋转变换。 (4) 做第2步的逆变换，即做绕Y轴- 旋转变换 (5) 做第1步的逆变换，即做绕X轴- 旋转变换,方式一： (1)绕x轴旋转到xz平面，然后绕y轴旋转到z轴,方式二： (2)绕y轴旋转到yz平面，然后绕x轴旋转到z轴,方式三： (3)绕z轴旋转到xz平面，然后绕y轴旋转到z轴,变换的固定坐标系模式 相对于同一个固定坐标系 先调用的

14、变换先执行，后调用的变换后执行,图形几何变换的模式,人的思维方式 每次变换产生一个新的坐标系 变换的活动坐标系模式 先调用的变换后执行，后调用的变换先执行（图形系统一般用堆栈实现）,图形几何变换的模式,某些图形软件包提供两种图形变换模式，可方便地控制变换的次序。 图形模式：矩阵合并时，先调用的矩阵放在右边，后调用的矩阵放在左边.也称为固定坐标系模式。这种模式的特点是每一次变换均可看成相对于原始坐标系执行的。 空间模式：又称活动坐标系模式。先调用的矩阵放在左边，后调用的矩阵放在右边,连续执行几次变换时，每一次变换均可看成是在上一次变换形成的新坐标系中进行的。,图形几何变换的模式,1、先把图形绕z

15、轴旋转30，然后再沿x轴平移距离7 .,先旋转后平移,图形模式-示例,b）,先平移后旋转,2、先把图形沿x轴平移距离7，然后再绕z轴旋转30.,Rotate（30，0，0，1）; Translate（7，0，0）; draw_triangle（）;,可看成先对坐标系oxy作旋转，得到相应的坐标系oxy，然后再相对于新坐标系oxy作平移得到最后结果。,空间模式-示例,经变换后得到的三角形相对于原始坐标系的位置与图4.12（c）是一样的，只是考虑变换的方式不同。,先平移后旋转,不同的应用要用不同的变换模式,在绘图的情况下多用图形模式，因为用户比较容易估计变换后的结果。 整体变换的基础上再作一些较独立的局部变换时,常用空间模式 如机械手经过变换后移动到适当位置,手腕和手指的运动是相对于手臂的,如果在手臂上建立了一个坐标,考虑手腕手指的运动就简单多了。当手臂作移动后,固定在手臂上的坐标便成为新坐标,手腕和手指的运动就可以在新坐标中考虑,这种多次变换的情况要用空间模式.,5.4 光栅变换,直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换。 光栅平移变换：,90、180的光栅旋转变换：,任意角度的光栅旋转变换： 主要是插值算法的选择，常见的有最近邻插值、双线性插值等。,例子,光栅比例变换：,