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1、Ch5、对称矩阵与二次型,二次型及其标准形,正定二次型与正定矩阵,1、二次型及其标准形,定义1：二次齐次函数 称为二次型。 令 ，则,记 ，则 ， 故“二次型与一个对称矩阵一一对应”。 例如，二次型 的 矩阵 。,定义2： 称为二次型的标准形 (其矩阵为对角形)，其中的正 (负) 系数的个数称为二次型的正 (负) 惯性系数。 例5.1 将二次型 写成矩阵表示形式。 解：f的系数矩阵为,故f的矩阵形式表示式为,问题：如何求可逆线性变换 将二次型化为标准形。,解：令 则线性变换记为 。 ，显然，当 为对角形时，f 即为标准形。故问题可转化为“对对称阵，求一可逆阵C，使 为对角形”。 将Ch44中定
2、理11“若A对称，则必有正交阵P，使 即 为对角阵”应用于二次型，则有如下定理：,定理1：对于二次型 ，总有正交变换x=Py，将f 化为标准形 ，其中 为A的特征值。 参考题1、求正交变换x=Py，将 化为标准形。 解：f 的矩阵为,时， ， 令 ，则 ， ， 。 时，, 令 , 则 ， ， 。 时， ， , 令 , 则 ， ， ，故所求正交变换为x=Py， 标准形为 。,例5.2 已知二次型 的秩为2，求参数 。 解：二次型f的矩阵为 由于f的秩为2，即 ，故 ，即,解得 。显然，A中左上角的二阶子式非零，故 时， 。,例5.3 求一个正交变换，将二次型 化为标准形，并指出 表示何种二次曲面
3、 。 解：二次型f的矩阵 由于,故矩阵A的特征值为 ，各特征值对应的线性无关的特征向量分别为 由于A的三个特征值互异，故 两两正交，将其单位化，得,故,为正交矩阵，且 作正交变换 ，即,原二次型可化为 由于方程在 在三维空间中表示椭圆柱面，二正交变换不会改变几何特征，故 也表示椭圆柱面。 例5.4 求一个正交变换，将二次型 化为标准形。,解：二次型f的矩阵为 由于,故矩阵A的特征值为 。 当 时，解方程组 ，即 因为 得到同解的线性方程组为,基础解系为 故特征值 对应的线性无关的特征向量为 将 正交化，得,再单位化，得,当 时，解方程组 ，即 由于 同解的方程组为,基础解系为 故特征值 对应的
4、线性无关的特征向量 为 将单位化，得 ，故,为正交矩阵，且,作正交变换 即 故原二次型可化为 。,例5.5 求可逆变换化二次型 为标准形，并写出所作的变换矩阵。 解：由于f含x1的平方项，将含x1的项归并进行配方，得,令 即 则二次型化为 。所用变换矩阵为 显然P可逆 ，但P不是正交矩阵。,2、正定二次型与正定矩阵,定义3：若对任何 ，都有 ，则称 f 为正定(负定)二次型，并称矩阵A为正定(负定)的，记为A0(A0)。 定理2：n元二次型 正定 其标准形中的n个系数全为正，即 f 的正惯性系数为n f 的个特征值全为正。 定理3：(1)对称矩阵A正定( 正定),的各阶主子式全为正，即 (2)
5、对称矩阵A负定( 负定) 的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，即 参考题2、判定二次型 的正定性。,解：f 的矩阵为 。 故f 负定。 参考题3、k为何值时，二次型 正定。,解：f 的矩阵为 。 ，故k2时，f 正定。 定理4: 若A,B正定，则 均正定。 定理5：若A正定(负定)，则其对角元 全大于(小于)零。,例5.7 若 为正定二次型，则t应满足什么条件？ 解：二次型f的矩阵为 由于,当二次型f正定时，必有 ，故 。,例5.8 判别二次型 的正定性。 解：二次型f的矩阵为 由于 故二次型f是负定二次型。,例5.9 设A是三阶实对称矩阵，E为三阶单位矩阵，满足A2+2A=0，已知r(A)=2，问当k取何值时，矩阵A+kE为正定矩阵。 解：设为矩阵A的特征值，对应的特征向量为 ，则 于是有 由条件A2+2A=0 ，且特征向量 ，故 ，解得 。 因此矩阵A的特征值必取值0与2。,由于实对称矩阵A满足r(A)=2 ，则矩阵A可对角化，且矩阵A只有两个非零特征值，所以矩阵A的全部特征值为 ， 而矩阵A+kE的全部特征值为 。 矩阵A+kE为正定矩阵的充分必要条件是其特征值全大于零。所以当k2时，矩阵A+kE为正定矩阵。,