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1、第五章 方差分析与试验设计,第5.1节 单因素方差分析,第5.2节 两因素方差分析,第5.3节 正交试验设计,第5.1节 单因素方差分析,一、数学模型,二、离差平方和分解与显著性检验,三、参数估计,一、数学模型,1、问题的引入 在生产实践和科学试验中, 经常需要处理试验数据, 我们经常发现, 试验条件的不同, 得到的试验结果不 同, 有时在相同的试验条件下, 也会得到不同的试验 结果. 那么, 自然要问, 试验结果之间的差异到底是 由什么原因造成的? 是由于试验条件的不同所引起的? 还是由于试验误差所引起的? 如果是由于试验条件 的不同所引起的, 那么对试验指标最有利的试验条件 即因素的水平应
2、该如何来取? 方差分析与试验设计是 处理这类问题的一种数学方法. 本章主要介绍单因素试验的方差分析, 两因素的方 差分析及试验设计的基本方法.,例如,各个因素对化工产品质量的影响是否显著.,方差分析根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度.,试验指标试验中要考察的指标，如产品的性能.,因 素影响试验指标的条件.,因素,可控因素,不可控因素,水 平因素所处的状态.,单因素试验在一项试验中只有一个因素改变.,多因素试验在一项试验中有多个因素在改变.,例1 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示.,试验指标:薄板
3、的厚度,因素:机器,水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平,假定除机器这一因素外,其他条件相同,属于 单因素试验.,试验目的:考察各台机器所生产的薄板的厚度 有无显著差异.即考察机器这一因素对厚度有无 显著影响.,例2 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）.,试验指标:电路的响应时间,因素:电路类型,水平:四种电路类型为因素的四个不同的水平,单因素试验,试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著影响.,例3 一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验. 每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得 射程如下（以海里计）.,试验指标:射程,因素:推进器
4、和燃料,水平:推进器有3个,燃料有4个,双因素试验,试验目的因素对火箭射程 的有无显著影响,在每一个水平下进行独立试验,结果是一 个随机变量.,回顾例1,问题分析：,将数据看成是来自三个总体的样本值.,检验假设,进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等, 但参数均未知.,问题检验同方差的多个正态总体均 值是否相等.,解决方法方差分析法- 一种统计方法.,2、数学模型,上式就是单因素试验方差分析的数学模型,需要解决的问题,1.检验假设,3、数学模型的等价形式,总平均,原数学模型,改写为,检验假设,等价于,检验假设,总平均,总离差平方和（总变差）,二、离差平方和的分解与显著性检验,为了进
5、行上述假设检验，需要进行一系列变化。,1、总离差平方和分解,组内离差平方和，反映试验误差引起的数据波动,组间离差平方和，反映了因素水平变化引起的数据波动,2、分解式的统计特性,(1) 求,由定理1.12可得,(2) 求,从而有,检验假设,3、假设检验的统计量和拒绝域,下面我们先求出在H0成立条件下, 统计量的概 率分布. H0成立时,（*）,（*）式右边各项中,有r个约束条件,有1个约束条件,检验假设,拒绝域为,将以上分析列成方差分析表,表5.4-单因素试验方差分析表,例4(p156例5.3) 某种型号化油器的原喉管结构油耗较 大，为节省能源，设想了两种改进方案以降低油耗指 标比油耗，现对用各
6、种结构的喉管制造的化油器分 别测得如下表数据,解,方差分析表,为了计算方便，首先每个原始数据减220，通过计算P,R,Q,计算其离差平方和.,从 的大小可以知道，改进方案的比油耗最小， 采用这种结构有可能节省油耗,即喉管结构对比油耗有显著影响.,无偏估计,三、参数估计,由于,例5(p158例5.4) 有5种油菜品种，分别在4块试验田上种植，所得亩产量如下表：,1、不同品种对亩产量有无显著影响,解 1.,2.又因为,四、小结,1.随机试验:单因素试验、多因素试验；,2.单因素试验方差分析步骤；,(1) 建立数学模型;,(2) 离差平方和分解;,(3) 研究各分解项的统计特性;,(4) 进行假设检验;,(5) 估计未知参数,再 见,