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1、第五章 模糊映射与变换、模糊关系方程,1 投影、截影、模糊映射,一、投影、截影 定义5.1 设 ,所谓 在U中的投影,乃是U的一个模糊子集,记作 ,它具有隶属函数 同样可定义 在V中的投影 当U,V为有限集, 用模糊矩阵 表示时, , 可分别表为向量：,其分量 例: 则:,定义5.2：设 ，所谓 在U中的内投影,指的是U的一个模糊集,记作 ，其隶属函数 当U，V为有限集， 用矩阵 表示时,例： 定义5.3 设 ，对任意 ，所谓 在 处的截影，乃是V的一个模糊子集,记作 ， 其隶属函数,同理： 当U，V为有限集， 可表示为模糊矩阵 ， 的截影可表为向量，它们就是R的某一行或某一列。 定义5.4
2、称映射 为从U到V的模糊映射, 记： 定理5.1 任给 ,却唯一确定了一个从U到V的模糊映射,记作: 使对任意 都有,例:,二、模糊映射（关系与映射的转换） 普通映射：给定一个普通关系 ，如果 （a.满） 对任意 ，投影 都包含而且只包含一个元素 （一一对应） 那么，满足 ，两个条件的普通关系，便唯一确定了一个普通映射,满足： 反之任给一普通映射 也可确定普通关系 或 普通关系的映射象和原象都是清晰的。,定义（模糊映射） 称映射 为从U到V的模糊映射，记： 映射把U中的元素u映射为V的一个模糊子集。 例：设 令 使,：模糊映射，通过 可建立一个模糊关系 只要 例：上例中,定理：由U到V的模糊映
3、射 与U到V的模糊关系一一对应： 由关系 得到 即可。,例：,2 模糊变换,给定 ，对任意 都可得到 因此R决定了一个映射，记作 ：把一个模糊向量变为另一个模糊向量，相当于一种变换。 定义（模糊变换） 称映射 为从U到V的一个模糊变换。对U、V均为有限集，可将T定义成映射，,定理：任给 都唯一确定了一个从U到V的一个模糊变换，记作 使对任意 均有 此处： ：叫由 诱导出的模糊变换，为方便起见 不加区别,模糊关系的直观意义，可解释为论域的变换 模糊概念： 在 表现为a 又U与V存在模糊关系R 则 ， 故 例： 是男少年 ：在体重论域上只表现为,设某地区体重身高的关系为 在身高论域V上应表现为,3
4、扩展原理（扩张原理）,在普通集合中，设有映射 可诱导出一个新的映射 叫做集合A在 f 之下的象。 用特征函数来表示，有 约定： 上确界 下确界 一般地a=0， 或 1 ,由映射 f 还可诱导另一映射，记作 叫做集合B在f之下的原象，用特征函数来表示 例：U=a，b，c，d，e，f，V=1，2，3，4，5 令 则 ，称1，2为a，b，c的象。,对于模糊集合普通映射， 给定 ，在 之下的象应当是什么？ 给定 ，在 之下的原象应当是什么？ 普通集合 怎样扩展到 与 之间去。 定义5. 设 ，所谓 在模糊集类上的扩展，乃是指这样两个映射，仍记为 与 它具有隶属函数： （u可能是多个元素）,它具有隶属函
5、数 叫做 在 之下的象， 叫做 在 之下的原象。 例：设,设 ， 由扩展原理：,定义5.7 对任意 及任意 ，记 叫做 的 开截集。 定义5.3 给定映射 ，对任意 ， 及任意 ，在定义5.6的意义下恒有：,证明：,4 模糊综合评判,一、综合评判 所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的生物或对象，作为一个总的评价。 若考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评判分权按分数高低，就可将评判对象排出优劣的次序。但考虑多种因素，就是综合判定问题。由于在很多问题上，我们对生物的评价常常带有模糊性，应用Fuzzy方法进行综合评判，将会取得更好的实际效果。,综合评判两种简单方法： （一）总分法：对
6、每个因素给一个评分计算总分 （二）加权法：根据不同因素的重要程度，赋予一定的权重。令 表示对第i个因素的权重,并规定 于是 二、模糊综合评判 步骤1: 建立评判对象的因素集 因素就是对象的各种属性或性能,根据因素给对象评价.,步骤2: 建立评判集 步骤3: 建立单因素评判,既建立一个从U到F(v)的模糊映射 由 可诱导出模糊关系 。,步骤4: 综合评判: 由于对U中各因素有不同的侧重,需要对每个因素赋予不同的权重，即U上的一个模糊子集： 故综合评判为,三、综合判定的逆问题 已知决策 问决断b 赖以产生的因素权重a=? 需要解模糊关系方程，（无解或无穷多组解）从一组解中找出相对比较理想的方案。
7、设 为U上的一组模糊子集，根据则近原则若有i使 认为 是J中的最佳权重。 例：取U=耐用程度, 颜色, 式样, 品种, 规格, 价格, 包装 V=很欢迎,比较欢迎,不太欢迎,不欢迎,方法:任意固定一种因素,进行单因素评价,联合所有的单因素评价得到单因素评价矩阵R。将R看为是从U到V的模糊关系和变换，再进行综合评判。 例：对服装进行评价 U=花色式样，耐穿程度，价格费用 V=很受欢迎, 比较欢迎, 不太欢迎, 不欢迎 花色式样：20%的人很受欢迎, 70%比较欢迎, 10%不太欢迎, 0%不欢迎 花色式样（0.2, 0.7, 0.1, 0） 类似的 耐穿程度(0, 0.4, 0.5, 0.1)
8、价格费用 (0.2, 0.3, 0.4, 0.1),某类顾客考虑权重，既对各因素注意的程度 a=(0.2, 0.5, 0.3) 综合评判为： 归一化 b=(0.17, 0.34, 0.40, 0.09),若已知b 求a就是综合评判的逆问题，设 b=(0, 0.8, 0.2, 0) 备择集 其中 取格贴近度来进行计算:,比较接近于此类顾客的考虑方式。,5 模糊关系方程,设 给定模糊矩阵 ， 求未知模糊矩阵 使满足 或 只讨论下面形式的模糊关系方程（由解出行向量得出） 化为模糊线性方程组,又可表示成 一、考虑一元一次方程 x a=b 若 ab 则有唯一解 x=b 若 a=b 则有无穷多解，构成区间
9、 b, 1 x=b,1 若 ab 则无解 x=,定义一个算符 二、 一元模糊线性不等式 x a b 其解为 的定义为 三、n元模糊线性方程,它对应n个一元方程： 求n个一元不等式： 其解表示为: 表示区间向量,令 为将 的第i个分量或的Y第i个分量 而得到的区间向量 方程的解集合为： 解的充分必要条件是Y的各个分量不全空。 例: 解模糊方程,=( 0 , 0.6 ,0 , 0.6 , 0,1,0,1) W（1）=(0.6 , 0,0.6, 0,1, 0,1) W（2）=(0,0.6 , 0.6, 0,1, 0,1) W（3）=(0,0.6 , 0,0.6 , 0.6,1 , 0,1 ) Y的第
10、四个分量为空集，W（4）不必写出， 故 x= W（1） W（2） W（3） 设 是n维欧氏空间的两个点，如果有,那么便称 其中(0.6 , 0.6 ,1 ,1)为最大解(0.6, 0, 0, 0) 、 (0, 0.6, 0, 0) 、 (0, 0, 0.6, 0)为极小解。,E.sanchez证明了: 对任意模糊关系方程, 如有解必有最大解, 最小解可能有多个 。 四、对方程组的解 方程的解集合等于各个方程的解集合的交。,将Y的每一列中选定一个非空元素分别代入 的相应位置上去替换 中相应的元素，得一矩阵W。 若第j列中选定的非空元素是,这样代换的矩阵记为 这样的矩阵共有 为中第列的非空元素的个数。 对每个矩阵对每一行进行集合的求交运算，将所得的矩阵列向量转为行向量，便是一个部分解向量，对所用的解集合求并，便得到总的解集合。 例：,Y中各列的非空元素均为2 故可得8个W矩阵,解为：,