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1、第五章 波色系统：波色-爱因斯坦凝聚,5.1 理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚,回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程： 这里比容v=V/N,平均热波长 。易逸度z的定义为 ，其中为化学势。对波色气体，我们有： ， 由定义知显然成立； 可由动量为0的态的平均占据数 确定。函数 一般地由下式确定： 当z取0至1的值时， 是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0的值）。对于n1有 这是黎曼Zeta函数。当 ， 发散。 产生凝聚的条件： 把比容的方程改写为： 凝聚要求 当 时，这必然成立（因 是增函数）。 这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一个相由动量为零的粒子组成，令
2、一个由动量不为零的粒子组成。,物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因 ，它最多是 的量级，对大系统可忽略。因此物态方程为 物态方程在 连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。 其它热力学量：应分为两段讨论，如内能： 熵： 定容比热： 在T=0附近我们有 ，这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在 处比热是连续的（因 发散），比热的导数不连续。,5.2 非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚,考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V，系统处于低温且相互作用为二体碰撞。在一级近似下，系统哈密顿量为： 这里我们把势能项看作微扰。 设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为 其中 为
3、单粒子态中粒子的填布数。在一级近似下，系统能量为： 成立条件为 k为一对粒子的相对波矢，a是散射长度。即粒子只能激发到动量较小的态。上面最后一个等式的推导见杨展如书93-95页。 在基态，我们让 ，而其它所有 为零，基态能量为： 而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱。在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达式可进一步近似为： 下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况，即 并用n代表 ，能量的动能部分记为 ，记 ，配分函数为： 其中 为理想波色气体的配分函数。 是对理想波色气体的统计平均。,每个粒子的自由能为： 压强可由自由能得到： 作近似 后可得： 这个相变是二级相变。,5.3 波色-爱因
4、斯坦凝聚实验的基本原理,实验困难：大多数气体在极低温下不呈现气态。 1995年：三个研究组用Rb, Na 和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色-爱因斯坦凝聚现象。 实验的基本原理有两个： （1）多普勒致冷（动量空间的压缩）：恰当选取激光 频率 ，这里 是原子最低激发频率，可使得原 子在多次吸收激光后，动量不断减小： 原子接受迎面光子激发（有方向性，动量减小），再通 过自发辐射退激发（无方向性）。 （2）磁-光陷阱（坐标空间囚禁）： 在磁场中原子激发态能级发生分裂，原子 通过两束沿z轴相对运动的激光激发。激 光频率小于原子无磁场时的跃迁频率( )。 这样，不论在z0还是z0区域内只能
5、吸收向坐 标原点方向传播的激光，受到一个指向z=0点的 辐射力F=-kz，这样原子处于一个辐射力造成的 简谐势阱中。,5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚,详见杨展如书98-102页。,5.5 简谐势阱中非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚,温度很低时，原子的德布罗意波长（热波长）比原子相互作用程大很多，原子间的相互作用是很弱的完全被量子力学中讨论过的S-波散射所支配，因此我们只需考虑二体碰撞。 S-波散射可以用散射长度a来表征，相互作用势可近似写为: 因此在外界简谐势场 中，波色场算符满足（海森堡绘景，坐标表象）： 这个方程可在平均场近似下求解。关键是把波色场算符分为凝聚部分和
6、非凝聚部分(波戈留波夫近似)： 均匀空间情形： 理想波色气体的基态是所有粒子都处于单粒子的零动量态，其低激发态仍有量级为N的粒子占据零动量态，而 的态的占据数很少。我们假定这对近理想波色气体仍然成立。 令 为动量为p的单粒子态的湮灭(产生)算符，我们有,故 这表明在这种近似下我们可以忽略 的非对易性，把它们当作非算符的量（C数）。这样场算符可以写为两部分： 推广到空间非均匀和与时间有关的情形，我们有： 这里 ， 是围绕平均值的量子和热涨落（一个小量）。带入到上面的方程即得（GP方程）：,用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质。凝聚部分的哈密顿量为： 统计平衡时系统的 的平均值有极小值，故有 ，
7、从上式代入并解之得：,5.6 波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据,序参量：描述连续相变（二级相变）特征（自发对称破缺）的参量。在相变点附近，它是唯一重要的热力学量。 理想波色气体系统： 我们考察单粒子密度矩阵： 这里 表示系综平均 ， 为正则系综统计算符， 为单自由粒子场算符（可用平面波展开）， 分别为平面波的波矢量为k的湮灭和产生算符。上式表示如在y处失去一个粒子，则可在x处找到一个粒子的概率密度。 考虑一个有平移不变性的系统，这时动量和哈密顿量对易，利用Tr(AB)=Te(BA)可证： 另一方面，直接计算可得： 因此对这种系统我们有 于是,哈密顿量为： ，其中 上面最后一式里我们已经略去了涨
8、落算符二次方以上的项。由上可知粒子数密度为： 故总粒子数为： 而 实际是一个C数。由此我们可写出涨落算符的动力学方程（海森堡方程）： 把 的表达式带入，可得：,方程求解： 把涨落算符用一套简正模集合 来展开（波戈留波夫变换）： 同时令 ，并设 ， 遵守等时波色对易关系。带入到方程中得： 解之即得 和相关的本征值。相应地，通过上面的展开式 也可简单地表示成： 即 可用假想的波色粒子的湮灭和产生算符来表达，它是能量为 的各种假想的无相互作用的波色粒子的能量之和，这种粒子称为准粒子。,第六章 波色系统：超流性,6.1液He中的超流相变,自然界中的氦有两种稳定的同位素： 和 。 是费米子， 是玻色子。
9、氦原子间相互作用很弱，原子的质量很小从而零点振动能很大，这使得在常压下直到接近绝对零度氦仍可保持液态。在很低的温度下，量子效应起主导作用，因此液氦是典型的量子液体。 液He有两个不同的相：正常相He I和超流相He II，正常相沿饱和蒸汽压曲线降温，在温度T=2.18K和比容v=46.2/原子处发生He I到He II的相变。相变无潜热和体积变化，在相变点比热以对数形式趋于无穷大，表明这是二级相变。比热线很像，因此此相变又称为相比，曲线AB称为线。在T=0附近，比热以 规律趋于零。,6.2 液He II的特性 二流体模型,只有超流成分可通过毛细管，这解释了特性一； 只有正常流体成分才对圆盘振动
10、起阻尼作用，这解释了特性二； 机械制热效应：由毛细管流出的只是超流成分，不带走熵。因而容器内流体的单位质量的熵将增加，导致温度增加。这解释了特性三； 特性四：设想均匀温度的液He II中，某点附近温度突然稍稍上升。按二流体模型，热点的 要增加，而 将减小，造成两种成分的密度涨落。为恢复平衡，热点附近的超流成分将向热点流动，同时正常成分将向反方向流动而离开热点，这称作“内运流”。这种内部调整进行的很快，使液He II有极好的导热性。 由于液He II中有两种成分，朗道预言He II中会有两种独立的振动波：若 和 方向一致，则振动波传递密度和压强的变化，这是普通的声(第一声)；若 和 方向相反，则
11、可能在保持总密度 基本不变的情况下， 分别有涨落。由于超流成分熵为零， 的涨落决定了熵密度的涨落和温度的涨落（如图所示）。,6.3 超流体的涡旋运动,昂萨格和费因曼在理论上指出，在液He II的基态或液He II的超流成分中，可以存在一种“组织化的运动”-量子化的涡旋。设N个玻色子组成的超流体的基态波函数为 ，若液He II相以匀速 运动，则系统波函数为： 这里 是超流体宏观运动的动量，R是质心坐标。若各粒子 不均匀，在局部意义上上式仍是一个较好的近似。即在比速度发生显著变化的距离小得多的范围内，由局部位移引起的波函数的相位变化为： 现在考虑超流体的涡旋。设想液He II相中的一个闭合环，使环
12、上每一原子从其原位置移到其最近邻位置上。由于波函数的对称性，波函数不变。因此这种位移引起的波函数的相位变化必为2的整数倍，即 注意求和只对环上的所有原子求和，对宏观尺度的闭合环，求和可换为积分： 这表明，环流是量子化的，环流量子为h/m。由此可证超流成分的无旋性。由斯托克斯定理， S为积分回路包围的曲面面积。若此区域是单连通的，且流速 在S内处处连续，则左方的积分可以随S连续地趋于零，但右方不能连续变化，故只有 。,6.4 朗道超流理论,朗道理论的基本图像是把液He II看成受弱激发的量子波色系统，弱激发态与基态(T=0K)的偏离表现为在安稳的背景上出现了由元激发或准粒子组成的气体，后者与二流
13、体模型中的正常液体成分对应，而前者代表超流成分（回忆上章最后一节的另一个例子）。 当温度很低时，元激发的密度很低，可以把它们看作元激发的理想气体。令p和(p)代表元激发的动量和能量，n(p)表示相应的元激发数，则系统低激发态的总能量和动量为： 朗道进一步假设液He II中存在两种不同的波色型元激发（准粒子），即声子和旋子。当 时，液He II的比热随 变化，这是声子的特征，其能谱为=cp，c为声子速度。当温度稍高时，比热有一如exp-/kBT的附加项，其中为常数。由此推测对较大的动量，元激发能量有一个能隙，朗道假定在这个动量范围内能谱为： 是旋子的有效质量。 热力学性质： 这里准粒子被看作是理
14、想波色气体，准粒子数目不 确定，系统的化学势为零。准粒子在能量 的平均占 据数为： 由此可得内能： 和定容比热,因此声子部分贡献的比热为： 旋子贡献的比热在假设 为小量时，可得 这些结果与实验符合的很好。 超流的临界速度： 设质量为M的超流体以宏观速度v运动，其动量和能量为： 因此动量和能量的任何变化必满足： 设这一变化是由超流体产生了一个新的元激发引起，其动量为p，能量为(p)。 按能量和动量守恒，元激发的动量和能量必由消耗超流体的宏观流动的动量和能量而来，故 因此我们有 或 。 上式说明，要能产生元激发，必须超流体的宏观流速大于(p)/p；反之对一切小于(p)/p的v值，则由于宏观流动而产
15、生新的元激发是不可能的，即流体继续保持超流。由此得到超流判据： 即为超流的临界速度。由此易知自由粒子能谱 不可能有超流，因,6.5简并性近理想波色气体 波戈留波夫变换,这里我们用一个简并型近理想波色气体模型来来微观地给出液He II的声子能谱。 近理想气体是稀薄的（即密度低），相互作用很弱（可以看作微扰）的粒子系统。此外我们仅考虑系统的低温性质，这时量子效应很明显。几个相关参数： 散射长度a,它反映相互作用势的强度和作用范围； 平均热波长 ，它代表粒子波包的平均空间范围，属于量子效应，低温时 可以很大； 粒子间平均距离l， （n为气体密度）。 我们假定这三个参数间有如下关系： 因此相互作用可以
16、按小量 展开。 哈密顿量及其简化： 设近理想波色气体由N个全同的，自旋为零的波色子组成，系统哈密顿量为： 采用二次量子化表述，上式可写为： 其中第二式的求和要满足动量守恒条件， 及 分别为动量为p的单粒子态的产生和湮灭算符，它们满足波色算符的对易关系： 相互作用矩阵元为 其中 是动量为p的单粒子态的波函数。,把波函数表达式代入即可得 这里 在低温下，由量子力学低能散射的波恩近似，对散射长度a我们有: 在低能散射下，动量转移p很小，可取近似 。因此 因此体系的哈密顿量可写为： 再进一步，我们可以考虑波戈留波夫近似，即 和 近似地代之以C数（可交换数） 。而且由于我们只考虑低激发态，有： 因此 和 可看作小量，我们只保留到二次项，而略去三次及以上的高阶小量。故 其中 二次项的六项近似为 。 因此哈密顿量最终近似为：,波戈留波夫变换： 类似上章末节，我们可以通过波戈留波夫变换来把哈密顿量严格对角化。 引入新的波色产生和湮灭算符 和 ： 其中 和 为两个待定参数，常取为实数，且 。可以验证若令 则 和 满足波色对易关系（注意这两个参数还有一个自由度）。上式的逆变换为： 带入到哈密顿量表达式中得 我们可取两个待定参数的值使得： ，则上式最后一项为零，哈密顿量被对角化。 解出参数的值可得： ，其中 故哈密顿量为： 其中,