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1、第3讲,算术平均数与几何平均数,(1)基本不等式成立的条件是 a，bR. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号,ab (3) 2,叫做算术平均数， 叫做几何平均数，基本不等式式,可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,2几个常用的重要不等式,2ab,2,3最值定理,设 x，y0，由 xy2 (1)如积 xyP(定值)，_.,(2)如和 xyS(定值)，_. 即：积定和最小，和定积最大,则和 xy 有最小值 2,B,A有最大值 C是增函数,B有最小值 D是减函数,D,数)，则 x，y 的大小关系是( Axy Cxy,) Bxy Dxy,3若x0，则,x2x4 x,的最小值为
2、_.,5,考点1,利用基本不等式求最值(或取值范围),t24t1 t,的最小,例1：(2010 年重庆)已知t0，则函数 y 值为_,2,x 3x1,(2010 年山东)若对任意 x0，,x,2,a 恒成立，则 a,的取值范围是_,利用基本不等式求“和”的最小值时需注意验证： 要求各项均为正数；要求“积”为定值；检验是否具备等 号成立的条件,【互动探究】,C,考点2 利用基本不等式求参数的取值范围 例2：(2011 年浙江)设 x，y为实数，若4x2y2xy1，则 2xy 的最大值是_,(2010 年重庆)已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的,最小值是(,),B,本题主要考查了均值
3、不等式在求最值时的运用整 体思想是分析这类题目的突破口，即2xy 与 x2y 分别是统一的 整体，如何构造出只含2xy(2xy 亦可)与 x2y(x2y 亦可)形式的 不等式是解本题的关键,【互动探究】 2(2010 年浙江)若正实数 x，y 满足2xy6xy，则 xy 的,最小值是_.,18,考点3,利用基本不等式处理实际问题,例3：如图 531，某公园要在一块绿地的中央修建两个相 同的矩形的池塘，每个面积为 10 000 米2，池塘前方要留 4 米宽的 走道，其余各方为 2 米宽的走道，问每个池塘的长、宽各为多少 米时占地总面积最少？ 图 531,解析：设池塘的长为 x 米时占地总面积为S
4、，,解题思路：根据题意建立函数模型，利用基本不等式求最值,【互动探究】 3一份印刷品，其排版面积为 432 cm2(矩形)，要求左右留有 4 cm 的空白，上下留有 3 cm 的空白，则矩形的长为_ cm，宽,为_ cm 时，用纸最省,24,18,易错、易混、易漏 9多次使用基本不等式忽略了考虑等号能否同时成立,值是_,5,1利用均值不等式 ab2 ab以及变式 ab 等求函,数的最值时，要注意到合理拆分项或配凑因式，而拆与凑的过程 中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或 积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当 ab 时取“” 号)，即“一正、二定、三相等”,2当用均值不等式求函数最值失效时，要转化为研究函数的 单调性，利用单调性求最值 3多次重复使用均值不等式求解时，应考虑再相加相乘时字 母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致若不一 致，则不等式中的等号不能成立,ab 时等号成立,1在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的 满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失 误的关键所在,2当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证 等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错,