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1、5-1,第5章 线性参数的最小二乘法,5-2,最小二乘法（least square method）,1805年，勒让德（Legendre）应用“最小二乘法”，确定了慧星的轨道和地球子午线段。,1809年，高斯（Gauss）论证其解的最佳性。,经典最小二乘法（即代数最小二乘法）,现代最小二乘法（即矩阵最小二乘法）,5-3,线性参数的最小二乘法,第一节 最小二乘法原理 第二节 正规方程 第三节 精度估计 第四节 组合测量的最小二乘 法处理,5-4,大纲要求,掌握最小二乘原理。 掌握正规方程: 等精度测量线性参数的最小二乘处理 不等精度测量线性参数的最小二乘处理 掌握最小二乘精度估计方法。,5-5,
2、第一节 最小二乘法原理,设有一金属尺，在温度t时长度可表示为 yt=y0（1+t），其中，y0为温度零度时的精确长度。为金属材料的线膨胀系数，求y0与的数值,一、最小二乘法原理,引题:求标准米尺线膨胀系数,5-6,求标准米尺线膨胀系数,设在t1，t2，t3.tn温度条件下分别测得金属尺的长度l1，l2，l3 . ln共n个结果，可列出方程组,（1） 当n2，方程组无解。,最小二乘法,y0与最可信赖 值,？,一、最小二乘法原理,5-7,待测量（难以直接测量）：,直接测量量：,问题：如何根据 和测量方程解得待测 量的估计值 ？,一、最小二乘法原理,为确定t个不可直接测量的末知量 的估计量 ，可对与
3、该t个末知量有函数关系的直接测量量Y进行n次测量，得测量数据 （nt）并设有如下函数关系：,测量方程,5-8,直接求得 。,有利于减小随机误差，方程组 有冗余，采用最小二乘原理求 。,讨论：,最小二乘原理：,最可信赖值应使残余误差平方和最小。,一、最小二乘法原理,5-9,设直接测量量 的估计量分别为,（5-2）,一、最小二乘法原理,由此得测量数据 的残差为：,v1= l1-y1 v2= l2-y2 . （5-3） vn= ln-yn,即,（5-4）,残差方程式 （误差方程式）,5-10,若测量数据 ,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为,则各测量结果 出现于相应真值附
4、近 区域内的概率分别为：,一、最小二乘法原理,各误差相互独立，由概率乘法定理，各测量数据同时分别出现在相应区域的概率应为：,5-11,一、最小二乘法原理,等精度测量 ：,最小二乘原理的代数形式,测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值 出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有,由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应为,引入权,5-12,必须指出:上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。,一、最小二乘法原理,最小二乘原理:测量结果的最可信赖值应使残余误差
5、平方和（或加权残余误差平方和）最小。,5-13,二、线性参数的最小二乘法处理,线性参数的测量方程,相应的估计值,其误差方程：,第一节 最小二乘法原理,5-14,二、线性参数的最小二乘法处理,线性参数的最小二乘原理的矩阵形式,实测值矩阵,估计值矩阵,残差矩阵,误差方程 系数矩阵,误差方程的矩阵形式,误差方程,5-15,二、线性参数的最小二乘法处理,线性参数的最小二乘原理的矩阵形式,误差方程的矩阵形式,其中：,5-16,不等精度 等精度,不等精度测量线性参数的最小二乘原理的矩阵形式,5-17,二、线性参数的最小二乘法处理,线性参数的不等精度测量转化为等精度的形式：,5-18,误差方程,正规方程（法
6、方程）,最小二乘法,(方程数n末知数个数t),(n=t),求解线性方程组,求极值的方法,线性参数的最小二乘法处理程序,正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的 有确定解的代数方程组。,5-19,第二节、正规方程,一、等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程 二、不等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程 三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程（略） 四、最小二乘法与算术平均值的关系,5-20,第二节 正规方程,一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程,且,5-21,第二节 正规方程,正规方程：,特点：,主对角线分布着平方项系数，正数 相对于主对角线对称分布的各系数两两相等,(5-19),5
7、-22,看正规方程组中第r个方程：,则正规方程可写成,第二节 正规方程,即,正规方程的矩阵形式,5-23,第二节 正规方程,将 代入到 中，得,5-24,的数学期望为：,可见 为X的无偏估计。,5-25,由最小二乘法求最佳解,系数矩阵A-误差方程，（测量方程） 实测值矩阵L-直接测得,例题 5-1,X 的最佳估计值,5-26,第二节 正规方程,例5.1 已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系： ，为 。为获得时铜棒的长度 和铜的线膨胀系数 ，现测得不同温度下铜 棒的长度，如下表，求 ， 的最可信赖值。,5-27,由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的 正规方程：,二、不等精度测量线性参数最小
8、二乘法处理的正规方程,5-28,整理得：,(5-19),(5-25),不等精度的正规方程,5-29,即,不等精度的正规方程,将 代入上式，得,5-30,的数学期望为：,可见 为X的无偏估计。,5-31,由最小二乘法求最佳解,系数矩阵A-误差方程，（测量方程） 测量值矩阵L-直接测得 权矩阵P,例题 5-2,X 的最佳估计值,5-32,例5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差：,试求 的最可信赖值。,解：首先确定各式的权,5-33,令,5-34,四、最小二乘法与算术平均值的关系,为确定一个量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得到n个数据 ,相应的权分别为 。,最佳估计值,运用最小二乘法求
9、,5-35,误差方程：,系数矩阵,权矩阵：,实测值矩阵,5-36,对等精度测量：,与前面结果一致。,此式与等精度测量时算术平均值原理给出的结果相同，由此可见，最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理可以看作是最小二乘法的特例。,5-37,第三节 精度估计,一、直接测量数据 的精度估计,二、最小二乘估计量 的精度估计,5-38,第三节 精度估计,一、测量数据精度估计,(一）等精度测量数据的精度估计,可以证明 是自由度（nt）的 变量。 根据 变量的性质，有,对包含t个末知量的线性参数Y( )进行n次等精度测量得 ，其残差 得 的估计量。,5-39,则可取,作为 的无偏估计量。,因此
10、测量数据的标准差的估计量为,当t=1时？,5-40,(二) 不等精度测量数据的精度估计,一、直接测量数据 的精度估计,测量数据的单位权标准差,当t=1时？,5-41,直接测量量的标准差,对角元素,不定系数,二、最小二乘估计量 的精度估计,1、等精度测量时估计量的精度估计,5-42,单位权的标准差,对角元素,不定系数,二、最小二乘估计量 的精度估计,2、不等精度测量估计量的精度估计,5-43,第四节 组合测量（combined measurement）的最小二乘法处理,5-44,组合测量基本概念,组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量（一般是等精度测量），然后对这些测量数据进行处理，从而求得
11、待测参数的估计值，并给出其精度估计。 通常组合测量数据是用最小二乘法进行处理，他是最小二乘法在精密测试中的一种重要应用。,t个被 测量,n个误差方程式,求解,n种 组合,测得,最小 二乘法,5-45,组合测量基本概念,如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量,测得值,误差方程,待求量,为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目,5-46,组合测量基本概念,优点：精度较高。组合形式越多（n越大），测量结果的精度就越高。,缺点：工作量大,应用：在精密测量工作中有十分重要的地位，如标准器的检定。,5-47,【例题】,要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离 。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求 及其标准偏差。,5-48,直接测量各组合量，得,首先列出误差方程,由此可得：,5-49,则,5-50,式中，,现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入 误差方程中，,5-51,那么，,测量数据 的标准差为,5-52,已知,则最小二乘估计量 的标准差为,