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1、,8.1 笛卡兒坐標,8.1 笛卡兒坐標,笛卡兒坐標系 是由兩條互相垂直且相交於 O 點的數線所組成的，其中水平數線稱為 x 軸、 垂直數線稱為 y 軸，而 O 點則稱為原點。,笛卡兒坐標系與直線,8,8.2 兩點的距離,8.2 兩點的距離,距離公式,解：,例 8.1,8.2 兩點的距離,在 y 軸上，任意一點的 x 坐標都必定等於零。,8.3 分點,8.3 分點,若 P (x, y) 是 AB 上的一點，使得 AP : PB = h : k， 則 P 點的坐標可從截點公式得出：,截點公式,8.3 分點,我們稱 P 點內分 AB 為 3 : 5 。,8.3 分點,即是說 P 點內分 AB 為
2、3 : 5。,P 點外分 AB 為 5 : 2 。,8.3 分點,例 8.3,8.3 分點,考慮 A (4, 1) 和 B (7, 5)兩點。 若 P 點外分 AB 為 3 : 2，試求 P 點的坐標。,例 8.3,8.3 分點,考慮 A (4, 1) 和 B (7, 5)兩點。 若 P 點外分 AB 為 3 : 2，試求 P 點的坐標。,根據截點公式，,例 8.3,8.3 分點,考慮 A (4, 1) 和 B (7, 5)兩點。 若 P 點外分 AB 為 3 : 2，試求 P 點的坐標。,8.4 直線圖形的面積,多邊形的面積,考慮一 n邊形， 其頂點 (x1, y1)，(x2, y2)，(x
3、3, y3). (xn, yn) 按逆時針方向排列。,8.4 直線圖形的面積,多邊形的面積,考慮一 n邊形， 其頂點 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3). (xn, yn) 按逆時針方向排列。,例 8.7,8.4 直線圖形的面積,已知一 四邊形的頂點為 (2, 2) 、(1, 4) 、(4, 1) 和 ( 2, 0)，試求該四邊形的面積。,解：,例 8.7,8.4 直線圖形的面積,已知一 四邊形的頂點為 (2, 2) 、(1, 4) 、(4, 1) 和 ( 2, 0)，試求該四邊形的面積。,8.5 直線斜率與兩直線的交角,傾角與斜率,笛卡兒坐標上一直線 L 的傾角定義為從正
4、x 軸按逆時針方向量度所得的角 （參考圖 8.9）；,8.5 直線斜率與兩直線的交角,傾角與斜率,角 的範圍是 0 180,（ L 的傾角),8.5 直線斜率與兩直線的交角,傾角與斜率,因此，連接 (x1 ,y1) 與 (x , y) 兩點直線的斜率為：,解：,例 8.8,8.5 直線斜率與兩直線的交角,若 A(k, 5) 和 B(2, 3) 兩點位於傾角為 135 的直線 L 上，試求 k 的值。,8.5 直線斜率與兩直線的交角,兩直線的交角,8.5 直線斜率與兩直線的交角,兩直線的交角,若兩直線 L1 和 L2的斜率分別 為 m 及 m，且其交角中的銳 角為 ，則,解：,例 8.9,8.5
5、 直線斜率與兩直線的交角,若兩直線的斜率分別為 4 和 ，試求兩直線 所成的銳角。答案須準確至 2 位小數。,8.6 直線方程,直線方程的各種形式,1. 點斜式,8.6 直線方程,直線方程的各種形式,斜率 = m,2. 斜截式,8.6 直線方程,直線方程的各種形式,1. 點斜式,斜率 = m,斜率= m,3. 兩點式,8.6 直線方程,直線方程的各種形式,4. 截距式,8.6 直線方程,直線方程的各種形式,3. 兩點式,5. 一般式,8.6 直線方程,直線方程的各種形式,5. 一般式,6. 法線式,8.6 直線方程,直線方程的各種形式,若要把一般式 Ax+By+C=0 轉換成法線式， 我們只需
6、簡單地把它表成：,8.7 法線式的應用,點與直線的距離,8.7 法線式的應用,點與直線的距離,8.7 法線式的應用,點與直線的距離,解：,例 8.20,8.7 法線式的應用,試求 L1:x + y 4 = 0 與 L2:x 7y + 6 = 0 兩直線的角平分線 方程。,設角平分線上的任意點為 P(x, y)，,解：,例 8.20,8.7 法線式的應用,因此，角平分線的方程是,試求 L1: x + y 4 = 0 與 L2: x 7y + 6 = 0 兩直線的角平分線 方程。,設角平分線上的任意點為 P(x, y)，,8.7 法線式的應用,兩平行線的距離,8.7 法線式的應用,兩平行線的距離,
7、設有兩條平行線 L1: Ax+By+C1 = 0 及 L2: Ax+By+C2 = 0,解：,例 8.21,8.7 法線式的應用,試求兩條平行線 L1: 3x 4y 8 = 0 及 L2: 6x 8y 9 = 0 的距離。,8.8 直線族,平行線族,8.8 直線族,平行線族,L : y = 2x + k 代表一平行線族。,表示一平行線族。,解：,例 8.22,8.8 直線族,已知 L 表示平行於直線 5x + 4y + 3 = 0 的直線族。 (a) 試求 L 的方程。 (b) 若L是線族 L 中通過點 (1, 2) 的一條直線，試求 L 的方程。,8.8 直線族,通過一定點的直線族,8.8
8、直線族,通過一定點的直線族,L : y 3 = k(x 2) 代表通過點 (2, 3) 的直綫族。,表示通過定點 (a, b) 的直線族。,解：,例 8.23,8.8 直線族,已知 L 表示通過定點 (2, 1) 的直線族。 (a) 試求 L 的方程。 (b) 若L 是 L 中的一條直線，且與原點的垂直距離為 單位，試求 L 的方程。,解：,例 8.23,8.8 直線族,已知 L 表示通過定點 (2, 1) 的直線族。 (a) 試求 L 的方程。 (b) 若L 是 L 中的一條直線，且與原點的垂直距離為 單位，試求 L 的方程。,8.8 直線族,通過兩直線的交點之直線族,8.8 直線族,通過兩
9、直線的交點之直線族,代表一通過 L1 與 L2 的交點之直線族。,解：,例 8.24,8.8 直線族,試求一通過 L1 : 2x + y 4 = 0 與 L2 : 3x y +2 = 0 兩直線的交點，且分別滿足 以下條件的直線之方程 (a) 通過點(1, 2) (b) 斜率為,解：,例 8.24,8.8 直線族,把 (1)改寫成直線方程的一般式,該直線的斜率,試求一通過 L1 : 2x + y 4 = 0 與 L2 : 3x y +2 = 0 兩直線的交點， (a) 通過點(1, 2) (b) 斜率為,利用等距關係，並通過距離公式建立方程。,解：,例 8.1,8.2 兩點的距離,在 y 軸上
10、，任意一點的 x 坐標都必定等於零。,解：,例 8.1,在 y 軸上，任意一點的 x 坐標都必定等於零。,8.2 兩點的距離,例 8.3,8.3 分點,考慮 A (4,1) 和 B (7,5)兩點。 若 P 點外分 AB 為 3 : 2，試求P 點的坐標。,在應用這公式時，四邊形的頂點必須按逆時針方向排列。因此，先作一個四邊形的草圖將有助解題。,例 8.7,8.4 直線圖形的面積,已知一 四邊形的頂點為 (2, 2) 、(1, 4) 、(4, 1)和(-2, 0)，試求該四邊形的面積。,例 8.7,8.4 直線圖形的面積,已知一 四邊形的頂點為 (2, 2) 、(1, 4) 、(4, 1)和(
11、-2, 0)，試求該四邊形的面積。,已知一 四邊形的頂點為 (4, 10) 、(14, 2) 、(6, 8) 和 ( 4, 6)，試求四邊形的面積。 答案：158 平方單位,例 8.20,8.7 法線式的應用,試求 3x 4y 7 = 0 與 4x + 3y 13 = 0 兩直線的角的平分線 方程。 答案：x + 7y 6 = 0、 7x y 20 = 0,試求 L1: x + y 4 = 0 與 L2: x 7y + 6 = 0 兩直線的角平分線 方程。,解：,雖然 L1 / L2 ，但這兩直線的方程中 ，其 x 及 y 的係數並不相同。 為了應用公式,例 8.21,8.7 法線式的應用,我們需要改寫 L2 的方程， 務使 L1與 L2 的方程具有 相同的 x 、y 係數。,試求兩條平行線 L1: 3x 4y 8 = 0 及 L2: 6x 8y 9 = 0 的距離。,解：,例 8.21,8.7 法線式的應用,試求兩條平行線,試求兩條平行線 L1: 3x 4y 8 = 0 及 L2: 6x 8y 9 = 0 的距離。,