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1、1,第9讲 复数的概念、表示方法和运算,2,学习目标,1通过数的产生和发展，了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念； 2熟练掌握复数的代数形式、三角形式、指数形式、极坐标形式其化方法； 3熟练掌握复数代数形式的四则运算法则；熟练复数三角形式、指数形式、极坐标形式的乘法、乘方、除法的运算法则，并选择合理的方法进行运算；,3,重 点,难 点,1.复数的有关概念； 2.复数的四种形式及相互转化； 3.复数代数形式的四则运算法则； 4.复数其它三种形式的乘法、乘方、除法的运算法；,1.复数的四种形式相互转化； 2.复数的四则运算法则；,4,到目前为止，我们已学过的实数可以归纳如下：,但是，数的
2、范围扩展到实数集后，象x2 =-1这样的方程就没有解为了使这类方程也能有解，必须引进新的数，就是复数，数集也自然扩展到复数集,5,虚数单位，英文译名为imaginary number unit.所以，用“i”来表示这个新数。,一、虚数单位,（1）它的平方等于-1,即j2=-1; （2）它和实数一起，可以按实数的四则运算 法则进行运算，数j称为虚数单位,为了使x2=-1方程有解，我们引进一个新的数，用符号j表示（在数学上一般用符号i表示,为了区别于电学中电流强度的符号，本书中用符号j表示），并规定：,6,一般地，对任意整数n，虚数单位j的幂具有下面重要的性质：,虚数单位j的这个性质称为周期性特别
3、规定：,7,例1：计算：（1）j2012;（2）j-53;,解：（1）j2012j4503=1,（2）,另解：,8,相关概念：,复数：形如z=a+bj(a,bR)的数,复数集：由全体复数构成的数，称为复数集 通常用C表示,表示方法：通常用字母z表示，如z=-1+2j,代数形式：形如z=a+bj(a,bR)的形式.,复数：Complex Number,9,复数a+bj(a, bR)由两部分组成， 实数a与b分别称为复数a+bj的实部与虚部， 1与i分别是实数单位和虚数单位，,有时把实部记成为ReZ;虚部记成为ImZ，即a=ReZ,b=ImZ.,10,复数z=a+bj,(a、bR),有限小数和无限
4、循环小数,(b=0),无限不循环小数,虚数,(b0),纯虚数(a=0,此时z=bj ),11,两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等,12,x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面-复数平面 (简称复平面),x轴-实轴,y轴-虚轴,z=a+bj,特别注意：虚轴不包括原点。,复数z=a+bj,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),（数）,（形）,一一对应,13,1、复数的加法与减法,二、复数的四则运算,两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。,14,例2:计算,解:,讲解例题,15,2、复数的乘法法则：,设a+bj和c+dj是任意
5、两个复数,那么它们的积为,复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把j2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数.,16,概念： 共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。 特别地，实数的共轭复数是实数本身。,若复数用z表示,则其共轭复数用符号表示为,即若复数z=a+bj,则其共轭复数为,17,例3:计算,解:,讲解例题,18,把满足(c+dj)(x+yj)=a+bj (c+dj0)的复数x+yj叫做复数a+bj除以复数c+dj的商,3、复数的除法法则,19,先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).,20,例4
6、:计算,解:,讲解例题,21,例5 :设z1=5-5j，z2=-3+4j，求z1/z2;,解:,讲解例题,22,三、复数的模与辐角,模：复数可以等同于平面中的向量(从原点到z=a+bj所引向量oz）。向量的长度称为复数的模，定义为：,特别地,23,复数的绝对值的几何意义:,复数z=a+bj在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离,通常用r表示,即,(复数的模),24,显然,非零复数的辐角有无穷多个,它们彼此相差2的整数倍,为了实际需要,本书把适合于-的辐角称为主辐角,记作argZ,的值称为辐角的主值,并规定:今后要用主辐角表示复数Z=a+bj的辐角.,这样,每一个非零复数都有唯一确定的模和主
7、辐角,模和主辐角也可以唯一确定一个非零复数.,25,例如:,若z=3+4j,则,若z=5-12j,则,26,辐角:,向量z与实轴正向之间的夹角称为复数z的辐角， 定义为：,-主值,主辐角:,辐角ArgZ的某一特定值,记为argZ,我们规定,则有：,27,28,几个 特殊复数的主辐角,Z=a+0j(a0)的主辐角为=argZ=0,Z=a+0j(a0)的主辐角为=argZ=,Z=0+bj(b0)的主辐角为=argZ=,Z=0+bj(b0)的主辐角为=argZ=,例如:复数Z=3j的主辐角为=argZ=,又如:复数Z=-2j的主辐角为=argZ=,29,讲解例题,例6:计算下列复数的幅角主值。,解：
8、,30,讲解例题,解：,例6:计算下列复数的幅角主值。,31,讲解例题,解：,例6:计算下列复数的幅角主值。,32,四、复数的其它形式,复数的三角形式,复数的指数形式,复数的极坐标形式,33,复数四种形式的相互转化,三角形式:,指数形式:,极坐标形式:,代数形式：,Z=a+bj(a,bR),这里主要是代数形式与三角形式的相互转化,至于三角形式与指数形式、极坐标形式的相互转化非常简单。,34,把代数形式Z=a+bj转化为三角形式Z=r(cos+jsin)， 先求出复数的模r和主辐角argZ,例7：求出复数Z=-3+3j的其它三种形式。（P76例13）,解：因为a=-3,b=3,所以,又因为点Z（
9、-3，3）在第二象限内，所以其主辐角为,讲解例题,35,三角形式:,指数形式:,极坐标形式:,代数形式：,Z=-3+3j(a,bR),36,例8：把复数Z=2(cos1200+jsin1200)转化为代数形式。,解：,要把复数的三角形式Z=r(cos+jsin)转化为代数形式Z=a+bj,只要通过计算器求出cos、sin然后展开即可。,37,五、复数其它形式的乘除法运算,这里主要介绍复数的三角形式、指数形式和极坐标形式的乘除运算,乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加,除法的计算规律为：模相除，主辐角相减,38,乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加,除法的计算规律为：模相除，主辐角相减,39,乘
10、法的计算规律为：模相乘，主辐角相加,除法的计算规律为：模相除，主辐角相减,40,乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加,除法的计算规律为：模相除，主辐角相减,41,P80例8,例9：,讲解例题,42,P80例10,例10：,讲解例题,43,P83例12,例11：,讲解例题,44,P84例14,讲解例题,45,例14：将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,讲解例题,指数表示式为,所以,46,例15:把复数-2+2j化为指数形式。,解:,复数的模为,因为实部a=-20，所以其主辐角为,所以,47,例16：将下列复数转化为代数形式： (1)Z1= 5053.1；(2) Z2 =
11、10 120。 解：利用复数的三角形式，计算如下： (1) Z1=50 53.1 = 50(cos53.1 + jsin53.1) = 50(0.6+0.8j) = 30 + j40 (2) Z2=10 120 = 10(cos120 jsin120) = 10(0.50.866j) = 58.66j,讲解例题,48,例17：将下列复数转化为极坐标形式： (1)Z1 = 5； (2) Z2 = 3j； (3) Z3 = 16 12j 解：利用复数的代数形式，计算结果如下： (1) Z1= 5 = 5 0 (2) Z2= j3 = 3 90 (3) Z3= 16 j12 = 20 36.9,讲解例题,49,小 结,你能总结一下本讲的主要内容吗？,50,1、计算：,。,2、求复数 的实部与虚部、共轭复数、模与辐角,练 习,51,3如果等式 成立，则实数x、y为何值？,4、将复数 化成三角表示式和指数表示式以及极坐标形式。,练 习,52,祝你学习进步！,祝你工作愉快！,