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1、,等差数列的通项公式,当d0时，这是关于n的一个一次函数。,d=0, 常数列；,d0, 递增数列；,d0, 递减数列；,等差数列的例题1,等差数列的例题2,解得,解：,在等差数列 中， , 求 首项 与公差 .,1、等差数列的概念：,2、等差数列的通项公式：,d=0,常数列；d0, 递增数列；d0, 递减数列,小结：,或,如果一个数列的通项公式能写成 （p,q 是常数）的形式，那么这个数列是不是等差 数列呢？,课后思考：,如果一个数列是等差数列，那么该数 列的通项公式一定能写成 （p,q是常数）的形式。,推广后的通项公式,(n-m)d,例4 在等差数列an中 (1) 若a59=70，a80=1
2、12，求a101； (2) 若ap=q，aq=p (pq)，求ap+q； (3) 若a12=23，a42=143， an=263，求n.,d=2,a101=154,d= -1,ap+q=0,d= 4,n=72,等差中项,三个数成等差数列，可设这三个数为：,2b=a+c,a,a+d,a+2d,或 a-d, a, a+d,例5(1) 已知a，b，c成等差数列，求证： ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；,(2)三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12 ，求此三数.,上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，如a1+a2=a3 成立吗？,【说明】 3.更一般的情形，an=
3、 d=,等差数列的性质,1. an为等差数列 ,2. a、b、c成等差数列 ,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn +b,（k、b为常数）,am+(n - m) d,b为a、c 的等差中项AA,2b= a+c,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q,am+an=ap+aq,注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；,例2 .在等差数列an中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,例题分析,(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8,(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差
4、d.,分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10,分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15,分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又 a4a7=187 ， 解 、 得,或,d= _2或2, 从而a14= _3或31,课堂练习,1.等差数列an的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2,B,2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a1
5、0=,2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6),提示1:,提示：,d=an+1an=4,-35,3. 在等差数列an中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； (2) 若ap= q，aq= p ( pq )，求ap+q,d=2,a101=154,d= -1,ap+q =0,研究性问题,300 500,4. 在等差数列an中, a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？,d=5,提示：,an=78+5n,n=45，46，84,40,2.已知an为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?,1. 若a12=23，a42=143， an=26
6、3，求n.,3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积为12，求此三数.,d= 4,n=72,a 3= a 10 +(3-10)d,a 3=27,设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=12,6，4，2或2，4，6,等差数列的前n项和公式的推导,由等差数列,的前n项和,得,等差数列的前n项和公式的其它形式,公式记忆方法!,1)前n个正整数的和：1+2+3+n= ；,2)求正整数列中前n个偶数的和 2+4+6+2n= 。,例2：数列an是等差数列，a1=50，d=2 （1）从第n项开始有an0； （2）求此数列的前几项和最大？,小结： 若在等差数列an中，a10，
7、d0，则sn存在最小值；,例3.在等差数列an中,解：方法一,解：方法二（只适合填空题）,14,25,19.5,1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则 Sn=An2+Bn,令,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=7时,Sn取最大
8、值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,a7+a8=0,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,求
9、等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:利用an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,2.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp (mp),则 Sp+m=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S
10、偶S奇= ,n2d,0,nd, (m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项), 此时有:S偶S奇= ,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5: 为等差数列.,an,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27,例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,3.等差数列an
11、前n项和的性质的应用,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为 .,110,等差数列an前n项和的性质的应用,例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 .,例6.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .,例7.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .,5,10,153,等差数列an前n项和的性质的应用,例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S13
12、0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,等差数列an前n项和的性质,(2) ,Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,3.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp (mp),则 Sp+m=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项)
13、, 此时有:S偶S奇= ,n2d,0,nd, (m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项), 此时有:S偶S奇= ,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5: 为等差数列.,an,思考:已知一个无穷等差数列的首项为a1， 公差 为d： （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个 新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果 是，它的首项和公差分别是多少？,（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的 数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它 它的首项和公差分别是多少？,（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组 成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？ 如果是，它的首项和公差分别是多少？,