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第二类曲面积分,（对坐标的曲面积分）,一、第二类曲面积分的概念与性质,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,1 . 曲面的侧,以下总假定曲面是光滑的或分片光滑的。,例如旋转抛物面,在抛物面上每一点处的法向,量有两个，其中,对于曲面S：z=z(x,y), 若每一点的法向量与 z 轴正向夹,角为锐角，则称法向量指向曲面 的上侧; 否则为下侧.,对于曲面S：y=y(x,z), 若每一点的法向量与 y 轴正向,夹角为锐角，则称法向量指向曲面 的右侧；否则为,左侧。,对封闭曲面则有外侧和内侧之分。,这种具有两个侧的曲面称为,双侧曲面。,同理，对曲面S：x=x(y,z)有前侧和后侧之分。,2. 流量问题,则该点流速为 .,法向量为 .,（1）（,（,（）分割,（）近似,该点处的单位法向量为：,(3). 求和,3. 第二类曲面积分 的定义,注：,4. 第二类曲面积分的性质,5 . 第二类曲面积分的表达形式,（）,第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系,二、第二类曲面积分的计算,下面讨论第二类曲面积分的计算公式：,函数Z=Z(x,y)在D是有连续偏导数, 则由,上侧取+, 下侧取-,计算公式,类似地有,右侧和前侧取+号; 左侧和后侧取-号,计算公式,计算公式,三、第二类曲面积分的计算举例,例1,解,例2,解,