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1、第五节 事件的独立性,引例 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.设第i次取得白球为事件 Ai ( i=1, 2 ) .求,因为是有放回地取球，无论第一次取的是红球还是白球，第二次都是在5红3白中取一球，取到白球的概率都是3/8 ,也就是说 所以事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响，此时有：,此时称事件A1与A2相互独立,两事件相互独立的定义,两事件相互独立的性质,证明：,所以,同理可证另一等式.,2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立,所以必然事件S 与任意事件 A 相互独立；,所以不可能事件 与任意随机事件A相
2、互独立.,证明：,因为,因为,3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,且,证明其一：,由于,证明,（差事件的概率）,（相互独立性）,证明：,(1)由事件 A 与 B 相互独立，得,即：A与B不互不相容,例1.设事件 A 与 B 满足 (1)若事件A与B相互独立，则A与B不互不相容 ； (2)若A与B互不相容 ，则事件A与B不相互独立,(2)由 A 与 B 互不相容,得,即：A与B不相互独立,本例说明： 互不相容与相互独立不能同时成立。,三个事件相互独立的定义,设 A、B、C 是三个随机事件，如果,称A、B、C相互独立,称A、B、C两两独立,解：,但,显然,所以,此例说明：不能由
3、,推出,例3 一口袋中有4只球,一只涂白色,一只涂红色,一只涂蓝色,另一只涂有白、红、蓝三色.现从袋中随机抽取一球,以A,B,C分别表示事件“取出的球涂有白色” 、“取出的球涂有红色” 、“取出的球涂有蓝色” ，试判断,是否两两独立，是否相互独立,解：,显然,于是,此例说明 不能由 A, B, C 两两独立推出A, B, C 相互独立,但,所以,两两独立，但不相互独立,由上面两例可知：,在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的即：前三个等式的成立不能推出第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立,n个事件相互独立的定义,2）与两个随机事件相互独立类似：,1)在上面
4、的公式中，第一行有 个等式,因此共有等式,如果 这 n 个随机事件相互独立，则,这n个随机事件也相互独立。,其中 是 的一个排列,说 明,注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。,例4.甲乙二人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5和1/3，求密码被译出的概率.,解：,设A：甲译出密码，B：乙译出密码，C：密码被译出,则,方法一.,（A,B相互独立）,方法二.,例5.假如每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，现把来自不同地区的100个人的血
5、清混合，则混合后的血清中含有肝炎病毒的概率是多少？,解：,混合后的血清中含有肝炎病毒，说明这100个人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒，即要求的是和事件 的概率,设Ai：第i个人的血清中含有肝炎病毒,虽然肝炎会传染，但因为是来自不同的地区，所以认为这100个人的血清中是否含有肝炎病毒是相互独立的。,例6.甲乙二人轮流进行射击，第一次甲射击，第二次乙射击，每次射击甲射中目标的概率为0.3，乙射中目标的概率为0.4，求两人各自先射中目标的概率.,解：,设Ai：第i 次射击射中目标，,每次射击甲射中目标的概率为0.3，乙射中目标的概率为0.4，说明乙射击命中率较高，但因为甲先射击，他先射中的概率反而大，可见“先下手为强”，我得抓紧了，抢占先机，加油，努力！,例7.有三个元件分别按串联和并联两种不同的方式构成两个系统，每个元件的可靠性均为r（0r1），且各元件能否正常工作是相互独立的，求每个系统的可靠性.,解：,独立性的应用可靠性分析,一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性，由元件组成系统，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.,设Ai:第i个元件正常工作，,A:系统正常工作,(1)串联系统，,(2)并联系统，,例8.一系统如图，三个元件的可靠性均为1/2，且各元件独立工作，求系统的可靠性.,解：,设Ai:第i个元件正常工作， A:系统正常工作,