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1、第五节 数值微分,在实际问题中，往往会遇到某函数f(x) 是用表格 表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他 方法近似求导。常用的数值微分方法有:,一. 运用差商求数值微分 运用插值函数求数值微分 三. 运用样条插值函数求数值微分 四. 运用数值积分求数值微分,一. 运用差商求数值微分,最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商.,利用Taylor展开可导出数值微分公式并估计误差.,一阶导数的三点公式：,证明:,同样的方法可以得到其它的三点公式是：,二、运用插值函数求数值微分,设Ln(x)是f(x)的过点x0 ，x1 ，x2 ，xn a，b的 n 次插值多项式，由Lagrange插值余
2、项,有对任意给 定的xa，b，总存在如下关系式:,若取数值微分公式,误差为:,因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值,称为n+1点求导公式。,常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式. 当n=1时,有,例1 设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f(x0)。,当n=2时,有,当节点等距时，即有 x1=x0+h, x2= x0+2h, h0, 上述公式可简化为,有时，也将xi统一表为x0,将上述公式写成如下形式,n=2时，计算 f(x0)的误差是 O(h2),且（4） 的误差最小。,例2 设f(x)=xex，x0=2，用3点公式计算f(x0)。,由（6）， f(2)
3、22.166996，误差为：1.6910-4,公式(4)计算f(2)较准确。,用5点公式计算f(2) ：,当n=4时,可得到5点公式：,5点公式计算f(x0)的误差是O(h4),且中点公式（6）的误差小于端点公式（7）。,在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断 误差，而且还要考虑公式的舍入误差。,计算f (x0)的总误差是：,从截断误差 (h2/6)f(3)(1）的角度看，h 越小误差越小。但从舍入误差的角度看，h不能太小。,误差界为：e(h)=e/h +(h2/6)M, 这里 e=maxe(x0h) ,M= max f(3)(x),例3 设 f(x)=sin x ，计算f(0.900)=cos0.900的近似值。,解：利用公式,三. 运用样条插值函数求数值微分,用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点处函数f(x)的一阶导数和二阶导数的近似值.,四. 运用数值积分求数值微分,得到,解：将数值积分公式代入,二版习题,三版习题 P251-19,试导出以下数值微分公式,并估计截断误差.,