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1、,第五节 二阶常系数线性齐次微分方程,一、二阶常系数线性齐次微分 方程解的性质与通解结构 二、二阶常系数线性齐次微分 方程的解法,的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为,形如,定理11.1 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数.,一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构,证,这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？,例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程,容易验证： 都是它的解. 由定理11.1 知,也
2、是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显然它不是所给方程的通解.,问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，,才是方程(3)的通解？,定义6.1 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 , k2)，使得对于该区间内的一切x ，有,成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.,例如，例1中 是线性相关的， 是线性无关的.,定理6.2 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则,就是方程(3)的通解,
3、其中C1, C2为两个任意常数.,例2,二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法,把 代入方程(3)，整理后得,称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程(3)的特征方程.,是方程(3)的解，,特征方程(5)的根为,即 线性无关.因此方程(3)的通解为,于是得到方程(3)的一个特解 ，须找出方程(3)的另一个特解y2，且,取一个满足上式且不为常数的u(x),即可得到所求的y2,将上式积分两次,得,可取C1=1,C2=0,得u(x)=x,于是得方程(3)的另一个特解,线性无关，方程(3)的通解为,是方程(3)的复数形式特解.利用欧拉公式,再由定理6.1可知，函数,也是方程(3)的解，且,求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：,1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；,2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:,例3 求微分方程,解 其特征方程为,即 (r+1)(r3)=0,例4,解,例5,解,