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第12章 数项级数,1 级数的收敛性,定义1,给定一个数列,将各项依,其中第 n 项,叫做级数的通项或一般项.,次用“+” 号连接起来的表达式,记为,称为数项级数或无穷级数,简记为,级数的前 n 项和,称为级数的第n个部分和.,则称无穷级数发散 .,则称无穷级数,收敛 ,并称 S 为级数的和,解,收敛,发散,发散,发散,综上,解,例3 讨论调和级数,的敛散性。,解：令,时，有,因此，取,，即得调和级数发散。,例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数,收敛。,证：,使得当,及对任意正整数,，有：,即证。,都收敛，则对任意常数c，d,定理12.2 若级数,亦收敛，,定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变 级数的链散性,定理12.4 在收敛级数的项中任意加过不改变级数的,收敛性，也不改变级数的和,注意 从级数加括号后的收敛，不能判断它在未加括号前 也收敛。,例如,（1-1）+（1-1）+（1-1）+=0+0+0+=0,收敛，但是级数,1-1+1-1+,是发散的,