棱柱问题.ppt

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1、棱柱问题,棱锥问题,复习：知识网络,底面,对角线,高,侧面,侧棱,顶点,棱柱(概念),有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。,体积VSh,返回,复习：知识网络,棱柱(分类),斜棱柱,直棱柱,正棱柱,返回,复习：知识网络,四棱柱,四棱柱,直四棱柱 侧棱垂直底面,平行六面体 底面是平行四边形,长方体,正四棱柱,正方体,侧面垂直底面,返回,要点疑点考点,一、棱柱,(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫棱柱,1.概念,(2)侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底

2、面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,返回,(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；,2.性质,(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.,(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；,要点疑点考点,3.长方体及其相关概念、性质,(1)概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体叫长方体. 棱长都相等的长方体叫正方体.,(2)性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 对角线长为l ，则l2=a2+b2+c2,返回,复习：知识网络,棱锥,棱锥,正四棱锥,正三棱锥,正四面体,体积VSh/3,顶点在底面正多边形的射影是底面的中心,返

3、回,复习：重要定理,三垂线定理(逆),作用：1 证明线线垂直； 2 作二面角的平面角。,一作一连法,返回,棱锥基本性质,如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比,返回,棱锥基本性质,棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形,P,C,B,D,A,Rt PEH,Rt PHB,Rt PEB,Rt BEH,返回,正棱锥,如果一个棱锥 的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心这样的棱锥叫做正棱锥,返回,1、侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥,2、棱锥的高可以等于它

4、的一条侧棱长,3、棱锥的高一定在棱锥的内部,4、侧面均为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥,判断正误,返回,1、三条侧棱相等,2、侧棱与底面所成的角相等,3、侧面与底面所成的角相等,4、顶点P到ABC的三边距离相等,5、三条侧棱两两垂直,6、相对棱互相垂直,7、三个侧面两两垂直,外心,外心,内心,内心,垂心,垂心,垂心,返回,有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥？,有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥？,有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥？,返回,1.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面( ) (A)至多只有一个是直角三角形 (B)至多只有两个是直角三角形 (C)可能都是直角三

5、角形 (D)必然都是非直角三角形,C,基础题例题,返回,2.命题： 底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥； 所有的侧棱的长都相等的棱锥，一定是正棱锥； 各侧面和底面所成的二面角都相等的棱锥，一定是正棱锥； 底面多边形内接于一个圆的棱锥，它的侧棱长都相等； 一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直； 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直. 其中正确的有 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)3个 (D)5个,C,基础题例题,返回,基础题例题,2.正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2 BB1，则AB1 与C1B所成角的大小是 （ ） A.60o B.90o C.105o D.75o,B,返回,3.长方体三

6、边之和为a+b+c=6，总面积为11，则 其对角线长为_；若一条对角线与二个面所成的 角为30或45，则与另一个面所成的角为 _；若一条对角线与各条棱所成的角为、 、，则sin、sin、sin的关系为_ _.,sin2+sin2+sin2=2,基础题例题,5,30,返回,设棱锥的底面积是8cm2,则这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于底面的截面）的面积是多少？,S中=2,返回,过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面,它将棱锥的侧面分为三部分面积之比(自上而下)为 。,返回,过棱锥的高作两个平行于底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积相等则它分棱锥的高的比是(自上而下） 。,返回,正

7、三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b,求它的高和侧面积？,P,A,B,C,O,返回,正三棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？,P,A,B,C,O,返回,正四棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？,P,A,B,D,C,O,返回,正三棱锥的底面边长为a .侧棱与底面所成的角为60,过底面一边做一截面使其与底面成30的二面角，求此截面面积？,P,A,B,C,O,返回,已知:三棱锥P-ABC的底面是等腰三角形,AB=AC=10,BC=12,棱锥的侧面与底面所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积?,返回,连接棱长

8、都是a的正三棱锥的侧面中心成一个三角形，求此三角形的面积？,P,A,B,C,返回,在正四棱锥内有一个内接正方体，这正方体的四个顶点在四棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面上，若棱锥底面边长为a,高为h，求内接正方体的棱长？,A,B,D,C,O,P,H,设内接正方体的棱长为x,返回,在正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是4，其内接正三棱柱的三个侧面都是正方形，求内接正三棱柱的全面积？,返回,能力思维方法,4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中， 侧棱PA底面ABCD，ABC=90，PA=AB=BC=2，AD=1, (1)求D到平面PBC的距离； (2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。

9、,解: (1)AD/平面PBC,D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离,PABC, ABBC,BC平面PAB,平面PBC平面PAB,A到PB的距离就是A到平面PBC的距离,PA=AB=2, PAAB,A到PB的距离为,D到平面PBC的距离为,返回,能力思维方法,4. 在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中， 侧棱PA底面ABCD，ABC=90，PA=AB=BC=2，AD=1, (1)求D到平面PBC的距离； (2)求面PAB与面PCD所成的二面角的大小。,Q,(2)延长CD与BA相交于Q,ADBC,且 AD= BC,A是QB的中点,又PA=AB=AQ,BQPQ,又BC平面PAB,CPPQ

10、,故CPB是所求二面角的 平面角,故面PCD与面PCD所成的二面角为,返回,例题讲解,1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD. (1)若面PAD与面ABCD的二面角为600，求四棱锥的体积；,作、,证、,求？, PB面ABCD，BAAD， PAAD PAB就是面PAD与面ABCD的二面角的平面角,解：,即PAB600,V= a3,返回,例题讲解,1、四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD. (2)证明不论高PB怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于900.,M,证：由题设侧面PAD与PCD为全等，,作CMPD于M，连结MA，则CDMADM，,

11、AMCM，AMD900,故AMC就是所证二面角的平面角.,连结AC,在AMC中，由余弦定理 cosAMC =,故AMC900，即证.,小结：作二面角平面角的方法 有面的垂线，则一作一连法 定义法，在两面内作棱的垂线 面积射影定理,返回,变化一,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，BCD600，PB面ABCD.若面PAD与面ABCD的二面角为600，求四棱锥的体积；,E,返回,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，BCD600，面PBC面ABCD，且PBC是等边. 求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角；,变化二,E,注意：面面垂直的应用 分析平面图形,返回,例题讲解,2、如图在直三棱

12、柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt， C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AC=AA1=2 (1)求线段DE的长,返回,例题讲解,2、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt， C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AC=AA1=2 (2)求二面角A-BD-C的大小(反三角表示),解： ABC-A1B1C1是直棱柱，ACBC，,AC侧面BB1C1C，,作CMBD于M，连结AM，,则AMC就是所求二面角的平面角；,在ACM中，AC2,tanAMC=AC/CM=,即所求为,ACCM，,返回,例题讲解,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面

13、ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (1)求A1B与平面ABD所成的角(用反三角表示)；,解：连结BG，由已知EBG就是所求的角，, ,A1B与平面ABD所成的角为,返回,例题讲解,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。,方法A：作垂线法,方法B：等体积法,返回,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分

14、别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。,解A：由上题解知，DE平面AA1B1B,平面ADE平面AA1B1B于AE,在A1AB1中，A1K,方法A：作垂线法,返回,3、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰Rt，C=900 ，D、E分别是CC1和A1B的中点，AA12，若点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G. (2)求点A1到平面AED的距离。,解B：,方法B：等体积法,方法C：对象转换法,返回,小结：,1、联想概念及其性质； 2、分解难点，掌握各类基本作图； 3、强调作证求过程； 4、空间问题平面

15、化，尤三角形内 的计算。,返回,面积问题,体积问题,返回,返回,返回,基础题例题,C,1.设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( ) (A)4cm2 (B) cm2 (C)2cm2 (D) cm2,2. 一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积 是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为 ( ) (A)1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 1 : 8 (D) 1 : 7,C,返回,A,3.设长方体三条棱长分别为a,b,c，若长方体所有棱的 长度之和为24，一条对角线长度为5 ，体积为2，则 等于 ( ) (A

16、) (B) (C) (D),基础题例题,返回,C,4.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，另一条侧棱到这个 侧面的距离是a，则这个三棱柱的体积是 ( ) (A) (B) (C) (D),基础题例题,5.在侧棱长为23，每个侧面的顶角均为40的正三棱锥P-ABC中，过A作截面分别交PB、PC于E、F，则AEF的最小周长是 ( ) (A) 6 (B) (C) 36 (D),A,返回,例设P是棱长相等的四面体内任意一点，则P到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于（ ）。 （A）四面体的棱长 （B）四面体的斜高 （C）四面体的高 （D）四面体两对棱间的距离,提示：用体积法求解,返回,解：如图正四面体AB

17、CD中，过点A作四面体的高AO，则由点P分别连接PA、PB、PC、PD，得到四个小四面体， 若点P到四个表面的距离分别为h1、h2、h3、h4，那么四面体被分成的四个小四面体，它们的体积和恰好是四面体ABCD的体积，,返回, VABCD=VPBCD+VPABC+VPABD+VPACD， h1+h2+h3+h4=AO. 选C.,返回,例若正四棱柱的底面积为P，过相对两侧棱的截面面积是Q，则该四棱柱的体积是（ ）。 （A） （B） （C） （D）,返回,解：如图，设四棱柱底面边长AB=a，高AA1=b，则P=a2，过两侧棱AA1、CC1的截面面积Q= ab，,返回,6.若一个斜棱柱A1B1C1AB

18、C的底面是等腰ABC，它的三边边长分别是AB=AC=10cm，BC=12cm，棱柱的顶点A1与A、B、C三点等距，且侧棱AA1=13cm，求此棱柱的全面积.,解：自B引BDAA1于D，连接CD，,D,AA1=A1B=A1C，,底面ABC为等腰，,故顶点A1在底面ABC上的射影O在底边 BC的高AE上，,O,E,由三垂线定理知，,BCAA1,即侧面B1BCC1为矩形，,由AA1BC，AA1BD， 得AA1平面BDC,AA1CD，,在A1AB中，引A1FAB于F，,F,在RtA1FA中，由A1A=13，AF=5，A1F=12,得,则BD=ABsinA1AB=10,S柱侧=(BD+DC+BC)A1A

19、=396,又在ABC中，AEBC，AB=10，BE=6,得AE=8,SABC=8,S柱全=396+248=492(cm) 2,返回,7.已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.,能力思维方法,.,.,.,F,E,解:方法一:,连接A1C1, B1D1交于O1,O1,过O1作O1H B1D于H,H,EF/A1C1,A1C1/平面B1EDF,C1到平面B1EDF的距离 就是 A1C1就是 到平面B1EDF的距离,平面B1D1D平面B1EDF,O1H平面B1EDF,即O1H为棱锥的高,B1O1HB1DD1,返回,7.已知E，F分

20、别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.,能力思维方法,.,.,F,E,解:方法二:,连接EF,设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2 ,则 h1+h2=B1D1=2a ,返回,7.已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.,能力思维方法,.,.,F,E,解:方法三:,返回,将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，求所得三棱锥D-ABC的体积？,A,B,C,D,返回,将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使

21、B，D两点间距离变为a，求所得三棱锥D-ABC的体积？,A,B,C,D,返回,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点，棱长为a,求四棱锥D1-AEC1F的体积？,E,F,返回,平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a， A1AD= A1AB= DAB= 60,（1）求证：AA1面B1CD1,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,返回,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a， A1AD= A1AB= DAB= 60,（1）求证：AA1面B1CD1,返回,（2）求平行六面体的体积？,A1,B1,C1,D1,A,B

22、,C,D,V= SA1B1CD1CE,CE=,SA1B1C1D1=,=,平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a， A1AD= A1AB= DAB= 60,（1）求证：AA1面B1CD1,返回,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,SB1CD1=,VC1-B1CD1= SB1CD1CC1,（2）求平行六面体的体积？,平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a， A1AD= A1AB= DAB= 60,（1）求证：AA1面B1CD1,返回,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,SB1CD1=,VC1-B1CD1= SB1CD1CC1,=,= SB1C1D1h,V= ( 2 SB1C

23、1D1)h,（2）求平行六面体的体积？,平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a， A1AD= A1AB= DAB= 60,（1）求证：AA1面B1CD1,返回,求多面体的体积时常用的方法,直接法,割补法,变换法,根据条件直接用柱体或锥体的体积公式,如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其分割成易求体积的几何体，逐块求积，然后求和。,如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得,返回,求棱长为a的正四面体的体积.,返回,已知正三棱锥的侧面积是18 ，高为3，求它的体积？,返回,若正四棱锥的底面积是S，侧面积是Q

24、，则它的体积为？,返回,过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥分为三部分体积之比（自上而下）为 。,返回,P,A,B,C,三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，PA=a, PB=b, PC=c , ABC的面积为S求点P到底面ABC的距离,返回,A,B,C,D,P,F,E,已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AD，AB的中点，PC面ABCD，PC=2， 求点B到平面PEF的距离？,G,O,H,点线,点面,线面,返回,A,B,C,D,P,F,E,G,= SBFEPC,= SPFEh,已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AD，AB的中点，PC面ABCD，PC=2，

25、求点B到平面PEF的距离？,返回,斜三棱柱ABC-ABC的侧面BBCC的面积为S，AA到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？,返回,A,B,C,A,B,C,斜三棱柱ABC-ABC的侧面BBCC的面积为S，AA到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？,返回,如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF/AB,EF=1.5, EF与面AC的距离为2,求此多面体的体积？,=4.5,=3,返回,=6,=1.5,如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF/AB,EF=1.5, EF与面AC的距离为2,求此多面体的体积？,返回,正三棱柱ABC-A1B1C1的

26、底面边长为3，侧棱长为4，求四面体ABB1C1的体积,返回,已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱长为3，求其体积？,返回,已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱长为3，求其体积？,返回,已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， PAB= PAC= BAC= 60，求三棱锥的体积？,返回,已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， PAB= PAC= BAC= 60，求三棱锥的体积？,解法一,直接法,返回,解法二,变换法,已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， PAB= PAC= BAC= 60，求三棱锥的体积？,返回,解法三,割补法,已知三棱锥P-ABC中，PA=1，A

27、B=AC=2， PAB= PAC= BAC= 60，求三棱锥的体积？,返回,解法四,割补法,已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， PAB= PAC= BAC= 60，求三棱锥的体积？,返回,例:如图已知正三棱锥S ABC中,E、F分别是SB、SC 的中点，平面AEF平面SCB. 求证：三棱锥SABC侧面 积与底面积的比。,解：作正棱锥的高SO，连结AO并延长交BC于D， 连结SD交EF于G，连结AG.,G,O,返回,设正三棱锥SABC的底面边长为 ，则AD= ，SA=SB=,返回,A,B,C,S,D,例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。

28、求此三棱锥的体积。,法一：取AB中点D，连接SD，CD。 易得ABC为等腰直角三角形，ACB=90o。则有SDAB， CDAB。又SA=SB=SC， S在底面的射影为底面的外心， 即点D，SD平面ABC。 由VS-ABC= SABCSD得三棱锥体积。,返回,例、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。,A,B,C,S,E,F,注意：分割法求体积。,解法二 提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为等边三角形，边长为 ，SASB。取SA中点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得：SC 平面ABE。利用：VS-ABC=VS-ABE+V

29、C-ABE 得三棱锥体积。,（KEY： ）,返回,例、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求D1到截面C1BD的距离。,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,提示：利用 = 求解。,注意：等体积法求点面距离。,KEY：,返回,例：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动 证明：D1EA1D ； 当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离； AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为,等体积法求点面距离,返回,P,B,C,D,E,A,例：已知四棱锥PABCD ，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD

30、与底面ABCD所成的二面角为120。 （）求点P到平面ABCD的距离；（）求面APB与面CPB所成二面角的大小。,等体积法求点面距离,通过以上的解答,我们不难看出等体积法在处理点到面的距离和体积时非常有效,因此我们在平时的学习中应该掌握.利用等体积法我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题这是数学中的一种重要思想方法.在利用等体积法时我们应该在原图 形中寻找到一个较容易计算出面积及其高的面来。,返回,例：正三棱锥的侧面积为18 cm2,高为3cm.被一个过底面中心且平行于一个侧面的平面所截,求这个截面与底面所成的角和面积,O,解：过底面ABC的中心O作ODBC，交AB、AC于D、E，过

31、DE作平面DEF 平面VBC，与平面ABV、平面ACV分别交于DF、EF。,设正三棱锥底面边长为 cm,AO与BC交于C，连VG设VG=h cm,返回, S侧=3 h=18,在VOG中 VG2 =VO2 +OG2 VO = 3 OG = ,解得h=2 =6,S截面= DEOF DE= =4 OF= VG=,AGV= AOF=600,返回,体积问题: V棱柱=sh V棱锥= sh,D,返回,练习: 1.正方体的棱长位 , 以它的上底面中心以及下底面各边中点为顶点的四棱锥的侧面积是_. 2.已知三棱锥的两个面是边长为 的正三角形,另外两个面是等腰直角三角形,则此三棱锥的体积_.,返回,C,3.设棱

32、锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( ) (A)4cm2 (B) cm2 (C)2cm2 (D) cm2,返回,4.若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积 是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为( ) (A)1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 1 : 8 (D) 1 : 7,C,返回,A,5.设长方体三条棱长分别为a,b,c，若长方体所有棱的 长度之和为24，一条对角线长度为5 ，体积为2，则 等于( ) (A) (B) (C) (D),返回,C,6.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，另一条侧棱到这个 侧

33、面的距离是a，则这个三棱柱的体积是( ) (A) (B) (C) (D),返回,A,7.在侧棱长为23，每个侧面的顶角均为40的正三棱锥P-ABC中，过A作截面分别交PB、PC于E、F，则AEF的最小周长是( ) (A) 6 (B) (C) 36 (D),返回,8. 如图，在多面体ABCDE中，AE面ABC，BD AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点 (1)求证：EF面BCD； (2)求多面体ABCDE的体积； (3)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值.,【解题回顾】对于不规则几何体一定要能识别其本质，本题的多面体实际上是倒着的四棱锥.,返回,9.在三棱锥P-AB

34、C中，PA、PB、PC两两成60角，PA=a，PB=b，PC=c，求三棱锥P-ABC的体积.,【解题回顾】(1)把A、B、C中的任一个点作为顶点(其余三点构成的三角形作为底面)是解题的关键，这说明改变几何体的放置方式或改变对几何体的观察角度在解题中是十分重要的. (2)当a=b=c时，得到正四面体的体积是?. (3)若在PA、PB、PC上各任取一点M、N、R，设PM= m,PN=n,PR=r,则容易证明 ,这一结论与 PA、PB、PC成多大的角无关.,返回,10.若一个斜棱柱A1B1C1ABC的底面是等腰ABC，它的三边边长分别是AB=AC=10cm，BC=12cm，棱柱的顶点A1与A、B、C

35、三点等距，且侧棱AA1=13cm，求此棱柱的全面积.,【解题回顾】求斜棱柱全面积的基本方法是求出各个侧面的面积与底面积.本题求侧面积时也可以用直截面BCD的周长去乘AA1而得到.,E,返回,误解分析,1.求斜棱柱的全面积，除直截面周长乘侧棱长这个公式外，大多采用逐一求出各表面面积，然后作和的方法，因此不要盲目套什么公式，或在相加时，漏了上、下底面积,2.求三棱锥的体积非常灵活，有直接法、割补法、颠倒顶点法等，不管用何种方法，一定要看清字母位置，更不能漏乘1/3.,返回,与球的,多面体,问题,例一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总合是（ ）（A）5400 （B）6480

36、 （C）7200 （D）7920,提示：运用“欧拉定理” E+2=V+F。,返回,解：根据欧拉定理 V=(E+2)F=3212=20. 设该多面体的12个面的边数分别为E1，E2，E12， 那么共有棱数30= ( E1+E2+E12)， E1+E2+E12=60， 12个面中每个面的内角为 （i=1，2，12）， 内角总合为 =6480， 选B.,返回,已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱，试求该多面体的面数、顶点数和棱数.,返回,A,1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( ) (A) (B) (C) (D),基础题例题,2.地球表面上从A地(北

37、纬45，东经120)到B地(北纬 45,东经30)的最短距离为(地球半径为R) ( ) (A)R (B) (C) (D),C,3.在北纬45o的圈上有甲、乙、丙三地，甲乙、乙丙之间 的经度差都是90o，则甲丙两地的球面距离是甲乙两地球 面距离的 _倍,返回,基础题例题,C,4.球的表面积膨胀为原来的 2 倍，膨胀后的体积为原来的 （ ） A. 2倍 B.2倍 C.22倍 D.4倍,5.棱长为2的正四面体的体积为_,6.设P、A、B、C是球O面上的四点，且PA、PB、PC两两 互相垂直，若PA=PB=PC=a, 则球心O到截面ABC的距离 是_,返回,能力思维方法,7.求正八面体每相邻两个面所成

38、二面角的大小。,A,B,C,F,D,E,解：如图，设棱长为 a，AE中点为F，,连接BF、DF，,ABE，ADE是正三角形，,BFAE，DFAE,BFD是二面角B-AE-D的平面角，,BDF中，BF=DE=,BD=,所求二面角为- arccos,返回,三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5，求 三棱锥的内切球半径.,E,解：取CD的中点E，连接AE，BE，,由CDAE，CDBE，,得CD平面ABE,又AD=5,DE=3，得AE=BE=4，,故ABE的面积为37,于是，VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE,显然，三棱锥的三个侧面全等，各侧面的面积为12，,设三棱锥的内切球半

39、径为 r，则,VA-BCD= (SABC+SBCD+SCDA+SDAB)r,= 48r =16r,由16r=67,得内切球的半径为,返回,【解题回顾】 正如三角形的内切圆经常与面积发生关 系一样，多面体的内切球的半径也常与体积发生联系.,能力思维方法,返回,例题选讲,O,O2,O1,返回,能力思维方法,9.在球内有相距14cm 的两个平行截面，它们的面积分别是 64cm2 和 36cm2，求球的表面积。,.,解：设球半径为R，,（1）当截面在球心同侧，如图（1）,（1）,则有R2-36-R2-64=14,而此方程无解，故截面在球心的同侧 不可能。,（2）当截面在球心异侧，如图（2）,（2）,则

40、有R2-36 +R2-64=14,解得 R=10,S球面=4R2=400(cm)2,返回,返回,返回,将一个半径为1的球投入底面边长是4的正四棱柱型盛水容器中，求水面上升的高度？,返回,将一个半径为1的球投入底面边长是4的正四棱柱型盛水容器中，求水面上升的高度？,返回,求正方体的内切球和它的外接球的表面积之比,返回,求正四面体的内切球和它的外接球的体积之比,H,O,返回,半球的半径为R，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在球面上，求正方体的棱长,返回,例：共端点M的三条线段MA、MB、MC两两垂直，过M、A、B、C刚好可作一个半径为2的球，则MA、MB、MC的平方和为（ ）,解：以M

41、A、MB、MC为棱作长方体，那么这个长方体的八个顶点都在球上，且长方体的对角线恰好是球的直径，所以球的直径d=4， 而MA2+MB2+MC2=d2=16.,返回,延伸拓展,过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、MB、MC. (1)求证：MA2+MB2+MC2为定值； (2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值.,【解题回顾】(1)MA、MB、MC两两垂直.根据球的对称性，采用补形的方法，可以把它补成一个球的内接长方体.长方体的对角线的平方就是球的直径的平方，即MA2+MB2+MC2=4R2.在做选择题、填充题时就可直接用这个结论. (2)在球中的线段计算问题，常转化为小圆半径，大圆半径及球

42、心到截面距离来解决.,返回,返回,误解分析,1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中，作出的截面一般过多面体的对角线，且对角线长为球的直径若过对棱中点作横截面，将会出错.,2.球面上两点间距离不是直线距离，也不是纬度圈上的劣弧长，而是指过这两点的球大圆上 的劣弧长，不能错啊!,返回,例：如图所示，在纬度为的北纬纬线上有一点A，其中是AOO的三内角的等差中项，而t是 与 的等比中项，当地球自转t小时后，求点A转动前后的球面距离,返回,解：由题意得 =60 ， ， t=6，,设点A转动后为点B，由于地球转一圈需24小时，因此6小时转了圆周长的 ， 所以AOB=90, OAO=30，,所以AOB=90

43、, OAO=30， 所以AO=Rsin30= R=BO, AB= R,返回,返回,A,1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) (A) (B) (C) (D),A,2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系式是( ) (A)2F+V=4 (B)2F-V=4 (C)2F+V=2 (D)2F-V=2,返回,A,3.一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30.则它的各面多边形的内角总和为( ) (A)2160 (B)5400 (C)6480 (D)7200,A,4.将棱长为3的正四面体的各棱长三等分，经过靠近顶点的各分点，将原正四面体各顶点均截去一个棱长为1的小正四面体，剩下的多面体的棱数为( ) (A)16 (B)17 (C)18 (D)19,返回,A,5.地球表面上从A地(北