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等值线 f(x, y)=k 的法向量,花舞人间 17MAR2012,等值线 f(x, y)=k 的法向量,推导如下结论： 函数 f(x,y)在(x,y)处的梯度垂直于函数经过该点的等值线。 所以函数的梯度就是函数等直线的法向量。,设方程 f(x, y)=k 确定了隐函数 y=y(x)。 将此函数代回原方程，得恒等式：,等式两端对 x 求导：,得：,等值线 f(x, y)=k 在一点(x, y)处的法线斜率为：,故等值线 f(x, y)=k 在一点(x, y)处的法线向量为：,或,这正好是函数 f(x, y)在(x, y)处的梯度。,所以，函数 f(x,y)在(x,y)处的梯度垂直于函数经过该点的等值线。,法向量,等值线 f(x, y)=k 的法向量,特别地，曲线 f(x, y)=0 在一点(x, y)处的法向量为 f 的梯度（取k=0）：,法向量,