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1、2019/7/13,1,高 等 数 学 习 题 课,第十一章(1),习题课,一、内容小结,二、典型例题,曲线积分的计算及应用,三、课外练习,2019/7/13,2,一、内容小结,2019/7/13,3,2019/7/13,4,曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,2019/7/13,5,课内练习:,计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,P246 题3(1),201
2、9/7/13,6,计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,P246 题3(3),2019/7/13,7,计算,其中由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,P246 题3(6),2019/7/13,8,(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,2019/7/13,9,例1,解,二、典型例题,2019/7/13,10,例2,解,2019/7/1
3、3,11,例3,设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,解 分段积分. 记,2019/7/13,12,例4 计算,其中 为球面,解,化为参数方程,则,2019/7/13,13,例5 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解 取 的参数方程,2019/7/13,14,思路:,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,2019/7/13,15,解,2019/7/13,16,例7 计算,其中 为曲线,解 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,(的重心在原点),2019/7/13,17,例8 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a
4、 为半径的上半圆周.,2019/7/13,18,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,2019/7/13,19,思考题解答:,(1),(2),2019/7/13,20,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,练习题: P246 题 3(5) ; P247 题6; 11,(也可直接用Green公式. ),P246 题3(5),2019/7/13,21,根据格林公式得,例9,解,2019/7/13,22,2019/7/13,23,解,(如下图),2019/7/
5、13,24,2019/7/13,25,例11,解,2019/7/13,26,2019/7/13,27,例12,解,2019/7/13,28,2019/7/13,29,例13 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证 令,则,由定理 2 可知存在原函数,2019/7/13,30,或,2019/7/13,31,例14,解,取坐标系如图,利用L的参数方程,于是,则,2019/7/13,32,例15,解,2019/7/13,33,2019/7/13,34,解,于是,例16,2019/7/13,35,利用椭圆的参数方程:,2019/7/13,36,例17 设质点在力场,作用下
6、沿曲线 L :,由,移动到,求力场所作的功W.,解,令,则有,可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,2019/7/13,37,思考: 积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关 !,2019/7/13,38,曲面面积的计算法,2019/7/13,39,解,由对称性,2019/7/13,40,2019/7/13,41,例19,解,2019/7/13,42,2019/7/13,43,2019/7/13,44,解,例20,2019/7/13,45,2019/7/13,46,2019/7/13,47,设在右半平面 x 0 内, 力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,P247 题6,三、课 外 练 习,2019/7/13,48,求力,沿有向闭曲线 所作的,功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边界,P247 题11,2019/7/13,49,设三角形区域为 , 方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,