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1、二、 连续与间断,一、 函数,三、 极限,习题课,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数与极限,第一章,一、 函数,1. 函数的概念,定义:,定义域,值域,图形:,( 一般为曲线 ),设,函数为特殊的映射:,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 函数的特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,3. 反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4. 复合函数,给定函数链,则复合函数为,5. 初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与复,复合而成的一个表达式的函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 设函数,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,利用
2、函数表示与变量字母的无关的特性 .,代入原方程得,代入上式得,设,其中,求,令,即,即,令,即,画线三式联立,即,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?,相同,相同,相同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?,不是,是,不是,提示: (2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?,以上各函数都是初等函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 设,求,及其定义域 .,5. 已知, 求,6. 设,求,由,得,4. 解:,机动 目录
3、 上页 下页 返回 结束,5. 已知, 求,解:,6. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 连续与间断,1. 函数连续的等价形式,有,2. 函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有界定理 ;,最值定理 ;,零点定理 ;,介值定理 .,3. 闭区间上连续函数的性质,例3. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例4. 设函数,试确定常数 a 及
4、b .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设 f (x) 定义在区间,上 , 若 f (x) 在,连续,提示:,阅读与练习,且对任意实数,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,P64 题2(2), 4; P73 题5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,P73 题5. 证明: 若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理, 使,取,则,在,内连续,存在, 则,必在,内有界.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 极限,1. 极限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 极限存在准则及极限运算法则,3. 无穷小,无穷
5、小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,4. 两个重要极限,6. 判断极限不存在的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5. 求极限的基本方法,例6. 求下列极限：,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,复习: 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 确定常数 a , b , 使,解:,原式,故,于是,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 当,时,是,的几阶无穷小?,解: 设其为,的,阶无穷小,则,因,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,阅读与练习,1. 求,的间断点, 并判别其 类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 求,解:,原式 = 1,(2000考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P74 3 (1) , (4) ; 4 ; 7 ; 8 (2) , (3) , (6) ; 9; 10 ; 11 ; 12,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 求,解: 令,则,利用夹逼准则可知,