第十三章动能定理.ppt

《第十三章动能定理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十三章动能定理.ppt（59页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第十三章 动 能 定 理,一、常力的功,是力F与位移之间的夹角,功的单位为焦耳（J）， 1J=1Nm,二、变力的元功,将F与dr投影到直角坐标轴上：,13-1 力的功,因此，变力F在曲线路程上功的总和为：,几种常见力的功,重力的功,重力的功与路径无关，而只与物体的始末位置有关.,几种常见力的功,弹性力的功,弹簧系数 k ,原长 l0 ,一端系在固定点O处, 另一端沿任意曲线运动.,几种常见力的功,定轴转动刚体上作用力的功,当力偶矩与转角同向时作正功，异向时作负功。,几种常见力的功,平面运动刚体上力系的功,内力的功,质点系内各质点之间的相互作用力称之为内力，内力总是成对出现，等值、反向、共线，其

2、合力为零，然而，内力的功一般情况下却不为零！,理想约束力的功,不可伸长的绳索、刚性杆、光滑支撑面、光滑铰链、轴承、滚动支座等，其约束反力的元功之和恒为零！把这些其约束力不做功的约束称为理想约束。即，理想约束的约束反力不做功！,只滚不滑的摩擦力不做功。,几种常见力的功,半径为2r的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳，轮轴半径为r，绳上作用常值水平拉力F，求轮心C运动x距离时，力F所作的功。,例题 第13章 动能定理,MC=Fr,例 题,例题 第2章 动能定理,13-2 质点和质点系的动能,质点的动能,动能是标量，恒取正值。 单位为焦耳 J 。,质点系的动能,平动刚体的动能,13-2 质

3、点和质点系的动能,定轴转动刚体上的动能,平面运动刚体的动能,P 为刚体平面运动的瞬心，JP为刚体对瞬心轴的转动惯量。,坦克的履带质量为m ,两个车轮的质量均为m1.车轮可视为均质圆盘,半径为r,两车轮轴间的距离为r设坦克前进的速度为V。计算此质点系的总动能。,13-3,作业,例题 第13章 动能定理,13-3 动能定理,质点的动能定理,两边同时点乘dr,质点系的动能定理,第 i个质点：,对整个质点系：,动能定理主要用来求解 v、a、，不能求反力！,均质圆柱体重为FP，其中心O绞接一重为Q的均质直杆OA，放在倾角为的斜面上，轮子只滚不滑，OA杆的A端与斜面间无摩擦，系统初始静止，求轮心沿斜面下滑

4、距离S时O点的速度与加速度。,由于轮心O作直线运动，将上式两端对时间求一阶导数得到：,均质圆柱体重为FP，放在倾角为的斜面上，只滚不滑，轮心O处系一绳子，跨过重为W的均质滑轮与重物Q相连，两轮半径相等，系统初始静止，求轮心O沿斜面下滑距离S时O点的速度与加速度。,两端对时间t求导，即得加速度：,长同为 l 的两根均质杆用铰链B相连，C端沿光滑铅直墙壁下滑，当AB由水平位置到达铅直位置时，BC到达水平位置，求该瞬时C点的速度，系统初始静止。,系统到达终了位置时，B、C两点的速度分别为：,其速度瞬心为B点，即该瞬时,则AB杆瞬时静止，,均质杆AB长l，B端放在光滑的水平面上，A端挂与固定点D处，现

5、突然剪断细绳，杆自由倒下，初瞬时0=450，求A端落地瞬时杆上A、B两点的速度。,A点着地瞬时，其速度瞬心为B点,1、功率： 单位时间内力所作的功。用瞬时值定义为：,作用在转动刚体上力的功率,2、功率方程： 任何机器工作时必须输入一定的功，同时，在机器运转过程中要克服阻力而消耗一部分功。因此需要研究功率与机器运动之间的关系。,13-4 功率 功率方程 机械效率,功率方程,有用功率,对系统输入的功率就等于有用功率、无用功率及系统动能变化率的总和。,当机器启动时， 则要求,当机器正常运转时， 则要求,当机器制动减速时， 则要求,3、机械效率： 工程中，把有效功率（包括克服有用阻力的功率及使系统动能

6、改变的功率）与输入功率的比值称为机器的机械效率。,13-5 势力场 势能 机械能守恒定律,力场：设质点在某一部分空间中处处受到力的作用，且力的大小和方向唯一地取决于该质点所在的位置，则这部分空间称为力场。,势力场：当质点在某力场中运动时，若作用与质点上的力所作的功只与该点的始末位置有关，而与质点运动的路径无关，则该力场称为势力场，该力称为有势力。,势能：在势力场中，任意选定某一位置作为基准位置零位置(零势能面)，当质点从任意位置到达零位置时有势力所作的功称为质点在给定位置的势能。 用V表示。,一、名词概念,二、常见几种势力场中的势能,1、重力场中的势能 通常以地面为零势能面，当物体位于地面以上

7、h 位置时，则势能为：,V = mgh,2、弹性力场中的势能 取弹簧无变形时的位置为零位置，当弹簧的变形为时，其势能为：,3、牛顿引力场中的势能 通常取无穷远处为零势能位置，则在任一处 r 的引力势能为：,由此可见，质点的势能可以表示为质点位置坐标的函数，该函数称为势能函数，表示为：,在势力场中，势能函数相等的各点构成一曲面，该曲面称为等势面，即：,三、机械能守恒定律,求第二宇宙速度。,解：,例题 第13章 动能定理,一、正确掌握各定理特征：,二、根据题目的要求，联系各定理的特征，决定所采用的方法：,13-6 普遍定理的综合应用,1、动量定理与动量矩定理只涉及系统的外力，而与内力无关； 2、动

8、量定理揭示质系质心的运动,反映系统移动时的动力学性质; 3、动量矩定理反映系统绕某定点或某定轴转动的动力学性质； 4、动能定理涉及系统的始末位置，不涉及约束反力。,1、如果给出了系统的始末位置，求v、a、，而不涉及 约束反力时，用动能定理；（若涉及反力，也可先由动能定理 求出v、a、，后用其他方法求反力） 2、求反力或绳子内力用质心运动定理； 3、对于转动刚体可用动量矩定理或定轴转动微分方程； 4、对平面运动刚体可用平面运动微分方程； 5、注意综合应用。,平台的质量 m = 30 kg，固连在刚度系数 k = 18 Nmm1的弹性支承上。现在从平衡位置给平台以向下的初速度 v0 = 5 m s

9、 1，求平台由这位置下沉的最大距离s ，以及弹性支承中承受的最大力，假设平台作平动。,1= s,s,2= s+s,例题 第13章 动能定理,例 题,例题 第13章 动能定理,解：,T1=mv02/2 T2=0 1= s 2= s+s,例 题,例题 第13章 动能定理,Fmax = k(s+s ) = mg + ks = 4 kN,s = 204 mm,运送重物用的卷扬机如图 a 所示。已知鼓轮重 W1 ，半径是 r ,对转轴 O 的回转半径是 。在鼓轮上作用着常值转矩 MO ，使重 W2 的物体 A 沿倾角为 的直线轨道向上运动。已知物体 A 与斜面间的动摩擦因数是 f ；假设系统从静止开始运

10、动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和轴承 O 的摩擦都忽略不计。试求物体 A 沿斜面上升距离 s 时，物体 A的速度和加速度。,例题 第13章 动能定理,T1 = 0,解:,例 题,例题 第13章 动能定理,圆盘的半径r=0.5m ,可绕水平轴O转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A，B，质量分别为mA=3kg, mB=2kg.绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按M=4的规律变化 (M以Nm计，以rad计)。求由=0到=2时，力偶M与物块A，B的重力所作的功之总和。,13-1,mAg,mBg,平面机构由两均质杆AB，BO组成，两杆的质量都为m ,长度都为l，在铅垂平面内运动。在杆AB

11、上作用一不变的力偶矩M,从图示位置由静止开始运动，不计摩擦。求当杆端A即将碰到铰支座O时杆端A的速度。,13-3,P,OB,AB,在图示滑轮组中悬挂两个重物,其中重物的质量为m1，重物的质量为m2。定滑轮的半径为r1，质量为m3；动滑轮的半径为r，质量为m4。两轮都视为均质圆盘。如绳重和摩擦略去不计，并设m22m1- m4。求重物由静止下降距离h时的速度。,13-9,m2g,m1g,m3g,m4g,v2,1,2,v1,B,C,A,图示带式运输机的轮受恒力偶的作用，使胶带运输机由静止开始运动。若被提升物体的质量为m1，轮和轮的半径均为r，质量均为m2，并视为均质圆柱。运输机胶带与水平线成交角，它

12、的质量忽略不计，胶带与轮之间没有相对滑动。求物体移动距离s时的速度和加速度。,13-12,m1g,m2g,m2g,如图所示质量为 m1 的物块 A 悬挂于不可伸长的绳子上，绳子跨过滑轮与铅直弹簧相连，弹簧刚度系数为 k。设滑轮的质量为m2，并可看成半径是 r 的匀质圆盘。现在从平衡位置给物块 A 以向下的初速度 v0 ，试求物块 A由这位置下降的最大距离s，弹簧和绳子的质量不计。,例题 第13章 动能定理,m1g,m2g,例 题,例题 第13章 动能定理,解：,例 题,例题 第13章 动能定理,卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在

13、轮缘上；圆柱的半径为R2 ，质量为m2 ，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度。,例题 第13 动能定理,m1g,FOx,FOy,m2g,FN,Fs,1,2,圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有：重力m1g和m2g ，外力偶M，水平轴支反力FOx和FOy ，斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs。,应用动能定理进行求解，先计算力的功。,因为点O没有位移。力FOx ， FOy和m1g所作的功等于零；圆柱沿斜面只滚不滑，边缘上任一点与地面只作瞬时接触，因此作用于瞬心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功，此系统只受理想约束，且内力作

14、功为零。,解：,例 题,例题 第13章 动能定理,质点系的动能计算如下：,式中J1 ，JC分别为鼓轮对于中心轴O，圆柱对于过质心C的轴的转动惯量：,1和2分别为鼓轮和圆柱的角速度，即,主动力所作的功计算如下：,例 题 7,例题 第13章 动能定理,由动能定理得,以 代入，解得：,于是,例 题 7,例题 第13章 动能定理,系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成， A，B为铰链，D为小滚轮，且AD水平。每根杆的质量m=6 kg，长度l=0.75 m。当仰角1=60时，系统由静止释放。求当仰角减到2=20时杆AB的角速度。摩擦和小滚轮的质量都不计。,例 题,例题 第13章 动能定理,例 题,例

15、题 第13章 动能定理,解:,AB = BD,AB AB = BCv BD,例 题,例题 第13章 动能定理,DCv = 2l sin 20 ,vE = Cv E BD,AB = 3.9 rads1 (顺钟向),质量为m的物体，自高处自由落下，落到下面有弹簧支持的板上，如图所示。设板和弹簧的质量都忽略不计，弹簧的刚度系数为k。求弹簧的最大压缩量。,例 题,例题 第13章 动能定理,例 题,例题 第13章 动能定理,求得,物体从位置落到板上时是自由落体运动，速度由0增到v1，动能由0变为 。,在这段过程中，重力作的功为mgh。,应用动能定理得,解：,例 题,例题 第13章 动能定理,在这段过程中

16、重力作的功为 mgsmax ，弹簧力作的功为 。,物体继续向下运动，弹簧被压缩，物体速度逐渐减小。当速度等于零时，弹簧被压缩到最大值 smax 。,应用动能定理得,例 题,例题 第13章 动能定理,求得,由于弹簧的压缩量必定是正值，因此答案取正号，即,例 题,例题 第13章 动能定理,同时也可把上两段合在一起考虑，即对质点从开始下落至弹簧压缩到最大值的过程应用动能定理。,解得的结果与前面所得相同。,在这一过程的始末位置质点的动能都等于零。在这一过程中，重力作的功为 mg(h+smax) ，弹簧力作的功同上，于是有,例 题,例题 第13章 动能定理,一长为l的链条置放在光滑桌面上，有长为b一段悬

17、挂下垂，如图所示。设链条开始时处于静止，在自重作用下运动。当末端滑离桌面时，求链条的速度。,例题 第13章 动能定理,解：,例题 第13章 动能定理,应用机械能守恒定律求解。,车床电动机的功率P=4.5 kw，主轴的最低转速为n=42 rpm，如图所示。设传动时由于摩擦而损耗的功率是输入功率的30%，如工件的直径d=100 mm，求在此转速时的切削力F。,例题 第13章 动能定理,解:,例题 第13章 动能定理,如图所示，摆的质量为m，点C为其质心，O端为光滑铰支，在点D处用弹簧悬挂，可在铅直平面内摆动。设摆对水平轴O的转动惯量为JO，弹簧的刚度系数为k；摆杆在水平位置处平衡。设OD=CD=b。求摆从水平位置处初角速度0摆下作微幅摆动时，摆的角速度与 角的关系。,例题 第13章 动能定理,例 题 11,例题 第13章 动能定理,解：,例题 第13章 动能定理,