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1、第22讲 Fubini定理(续),目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握Fubini定理并会运用，了解Fubini定理的证明。 重点与难点：Fubini定理及其证明。,基本内容： 一可测函数的截口 问题1：微积分中累次积分的内层积分 是什么意思？,第22讲 Fubini定理(续),第22讲 Fubini定理(续),问题2：对 LnLm 任意集合 E 及 E 上的可测函数 f(x,y)，如果考 虑关于 f(x,y) 的重积分化为 累次积分问题，首先应考察 什么？ 可测函数截口的定义：fx，f y。,第22讲 Fubini定理(续),定义3 如果 是 上的函数，则对每个 ，记 ， 它是定义在 上的函数
2、。,第22讲 Fubini定理(续),类似地，如果 上相对于 的可测函数，即对任意 及任意 ， ，通常称该函数为 -可测函数，则对任意 ， 是 上的可测函数，对任意 是 上的可测函数。,第22讲 Fubini定理(续),证明：对任意 及任意 ， 任取 ，则,第22讲 Fubini定理(续),由于,故,即,由此得 可测，同理可证 是 上的可测函数，证毕。,定理6 设 ，对任意 ， ，记 ， 则 是 上的可测函数， 是 上 的可测函数。,第22讲 Fubini定理(续),则 。,证明：设 M 是使得定理成立的那些 的集类，我们证明 M 具有如下性质： (i) 若,第22讲 Fubini定理(续),
3、(ii) 若 是 M 的互不相交的可数集列，则 。,第22讲 Fubini定理(续),(iii) 设 ，且,则,显然若 则 事 实上，此时,第22讲 Fubini定理(续),由此立知,为证(1)，记,由于,第22讲 Fubini定理(续),故由测度的可数可加性知 单调递增 收敛到 ，由于每个 ，即,由单调收敛性定理立得,由此得(i)。,第22讲 Fubini定理(续),若 是 M 中互不相交的有限 个集合 ，则 ， 从而对任意,第22讲 Fubini定理(续),由定理5知 及 均是可测函数，注意到 及 ，于是,第22讲 Fubini定理(续),由非负可测函数积分的有限可加性立得,进而,这说明，
4、M 中任意有限个不交的集合之并仍在 M 中，再利用 (i) 立得 (ii)。,则 ，且,且 ，则 ，,第22讲 Fubini定理(续),至于 (iii) 的证明只需注意到若,便容易证得。事实上，若,第22讲 Fubini定理(续),由 (ii) 的证明知,故,第22讲 Fubini定理(续),进一步,由于,第22讲 Fubini定理(续),因此由 及 知,进而,这说明 ，依 (iii) 的假设，,令 ，则 且,第22讲 Fubini定理(续),由 (i) 立知,所以,第22讲 Fubini定理(续),记,对任意正整数,由上面的证明知 是含所有可测矩形的,有限不交并的单调类，于是,且 是单调递增
5、的集列，,由 (i) 知 。定理证毕。,所以对任意 及任意 k,l,第22讲 Fubini定理(续),有 ，不妨取 ，,则,二Fubini定理的特殊形式,第22讲 Fubini定理(续),定理：设,则,第22讲 Fubini定理(续),三Fubini定理 定理7 富比尼（Fubini）定理 设 f 是 Rn+m上的 LnLm-可测函数， (i) 若 ，且 (a) 则 分别是 Rn 和 Rm 上的可测函数，且 (b),第22讲 Fubini定理(续),(ii) 若 f 满足 (c) 则 f(x,y) 是 Rn+m 上的可积函数。 (iii) 若 f(x,y) 是 Rn+m 上的可积函数，则对几乎
6、 所有的 是 Rm 中的可积函数；同 样，对几乎所有的 是 Rn 中的可 积函数，并且等式 (b) 成立。,第22讲 Fubini定理(续),证明：首先假设 f 是非负的，由定理5知 是有意义的。设 ，且 ，则 ，由定理6知(b)成立。故(b)对所有 -非负简单函数 f 成立，即,对一般的 -可测函数 f，可作简单函数序列 fk，使 且 fk 处处收敛到 f， ，则,第22讲 Fubini定理(续),由Levi定理知 单调递增收敛到 ，再一次利用Levi定理得 。但由 fk 的单调收敛性及Levi定理知 ， 故 。,第22讲 Fubini定理(续),类似可证 ，其中 。 为证(ii)，设 是一
7、般的 -可测函数，且 。,第22讲 Fubini定理(续),第22讲 Fubini定理(续),将 (i) 中的 f 换成 | f |，便不难得 | f | 是 上的可积函数，从而由 易知 也是上的可积函数。,第22讲 Fubini定理(续),最后证 (iii),由于 是 域，由 f 的 -可测性不难证明 均是 可测的。又因为 在 中可积，故 也可积,将 (i) 依次应用于 立知 均是 上的可积函数， 均是 上的可积函数。,第22讲 Fubini定理(续),因为 ，故对使得 且 的每个 是 中的可积函数,但由 的可积性知 记 ，则 ，且对任意 ， 从而 在 上可积，,同理可证对几乎所有的 是 上
8、的可积函数，在等式 (b) 中，用 代替 代替 f，等式仍成立，同理用 代替 代替 f，(b)也成立，将所得的两等式相减立得 ，类似可得 。证毕。,第22讲 Fubini定理(续),第22讲 Fubini定理(续),注：虽然Fubini定理中加上了“ f 是 -可测函数”的条件，但这一条件可以换成“ f是 上的可测函数”。这是因为，若 f 是 上的可测函数，则对任意 ， 是可测集，由本章 3定理2知存在 ，使 ，且 。,我们知道，去掉一个零测集并不影响函数的积分，所以只需在定理7的 (i) 中，将等式 (a) 改成对几乎所有的 及几乎所有的 ， ， 则所有的结论仍然正确。,第22讲 Fubini定理(续),问题3：Fubini定理的特殊形式能给 什么样的函数证明Fubini定 理？如何过渡到一般的可 测函数？ 作业：P168 22,第22讲 Fubini定理(续),