动力学.ppt

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1、第2章 动力学,本章内容：,2. 1 质点运动定律,2. 2 力学相对性原理,2. 3 刚体转动定理,1.实验基础,实验事实总结,实验事实证明,2.物理意义,力是物体运动状态改变的原因,力的成对性与一致性,3.适用范围,惯性坐标系,宏观低速运动的物体,2.1 质点运动定律,2.1.1 惯性定律,若平面光滑无摩擦,球会滚多远？,显然，球会永远滚下去,伽利略的正确结论在隔了一代人之后，由牛顿总结成了一条基本定律。,牛顿第一定律（惯性定律）：,其数学表达式为,时，,牛顿第一定律 “力”的概念,注意三个重要概念：,惯性、力、惯性参照系,2.1.2 质点的动力学方程,质量不随时间变化时,牛顿第二定律的分

2、量形式,牛顿第二定律 力的度量(定量描述),注意：力的 瞬时性、矢量性和对应性,2.1.3 牛顿第三定律,牛顿第三定律指明了一个真实存在的力的标志，在于总能找到它的反作用力，并且在其它物体的运动中表现出来。物体之间作用力具有成对性，即作用力与反作用力必须同时出现,且属于同种性质的力。作用力与反作用力是相对的、无主从之分，各自产生的效果不会抵消。,牛顿第三定律 力的特性,注意：力的成对性、一致性和同时性,选取研究对象,分析受力情况画出受力图,选取坐标系,列方程求解,讨论,（牛顿运动定律+运动学）,2.1.4 牛顿运动定律的应用,牛顿运动定律是物体作低速（ ）时所遵循的动力学基本规律，应用牛顿运动

3、定律求解质点动力学问题的一般步骤：,已知一物体的运动方程，求 。,1. 微分问题,例,求,已知一物体的质量为m , 运动方程为,解,以初速度v0 竖直向上抛出一质量为m 的小球，小球除受重力外，还受一个大小为mv2 的粘滞阻力。,解,例,求,小球上升的最大高度。,2. 积分问题,以地面参考系,例,一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以匀加速度 a 0 上升时，质量为m 的物体从斜面顶端开始下滑.,y,x,mg,x 方向,y 方向,物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。,求,解,求 抛体的轨迹方程,解,思路：,建立图示坐标系,x 方向,取 m 为研究对象，取地面为参考系，受力分析

4、如图。,y 方向,初始条件为：,作定积分，得,方程消去参数 t ，得轨道为,考虑风速等影响，还要复杂些。,代入初始条件，,长为L质量为M 的匀质柔绳，盘绕在光滑水平面上，现从静止开始，以恒定的加速度a 竖直向上提绳，当提起的高度为l 时，,例,求,解,作用在绳端力的大小是多少？若以恒定的速度v 竖直向上提绳，提起的高度仍为l 时，作用在绳端力的大小又是多少？,以被提起的一段绳为研究对象，建立如图坐标，设t = 0时，被提起的绳端坐标为y0= 0， t 时刻，被提起的绳端坐标为y，则有,即,若以恒定的加速度a 竖直向上提绳，则有,当y = l 时，有,若以恒定的速度v 竖直向上提绳，则a = 0

5、,有,当y = l 时，有,2.2 力学相对性原理,2.2.1 伽利略变换 经典时空观,(1) 惯性参考系,车的 a 0 时单摆和小球的状态符合牛顿定律,a 0 时单摆和小球的状态为什么不符合牛顿定律？,结论：把牛顿定律能成立的参照系叫做惯性参照系，简称惯性系。把牛顿定律不能成立的参照系叫做非惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。,结论,(1) 凡是牛顿运动定律成立的参考系称为惯性系。,(3) 相对于一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。 相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。,(2) 判断某参考系是否是惯性系的依据是实验。, 实验

6、表明：在地面上，牛顿运动定律是相当精确的定律，因此通常取地面参照系为惯性参照系。,牛顿运动定律的适用范围,低速 宏观,(2) 伽利略变换 经典时空观,系以恒定的速度 相对于 系作匀速直线运动,当 系和 系重合时，开始计时。,有,当速度远小于真空中的光速时，有,得,-伽利略变换,当物体的速度远小于真空中的光速时，时间的测量与参照系的运动状态无关,根据伽利略变换，我们可得出牛顿的绝对时空观，也称之为经典时空观,结论:,空间任意两点之间的距离对于任何的惯性系而言都是相等的，与惯性系的选择或观察者的相对运动无关这种空间称为绝对空间,时间也是与惯性系的选择或观察者的相对运动无关的这种时间称为绝对时间,空

7、间、时间和物质的质量与物质的运动无关而独立存在，空间永远是静止的、永恒的，时间永远是均匀地流逝着的。,2.2.2 力学相对性原理,同一质点的加速度在两个相互间作匀速直线运动的参照系中是相同的,表明牛顿第二定律在一切惯性系中具有相同的数学形式,牛顿第二定律在 系和 系的数学表达式,动力学定律在一切惯性系中都有相同的数学形式。这个结论进一步推广为：对于描述力学规律来说，一切惯性系都是等价的。,这就是力学的相对性原理或伽利略相对性原理,2.2.3 惯性力简介,非惯性系：,相对于惯性系作加速运动的参照系,牛顿定律是不成立,惯性力：为了使牛顿定律在非惯性系中形式的成立，而引入的 假想的力,大小：,方向：

8、,其中：,-被研究对象的质量,-非惯性系相对惯性系的加速度,引入惯性力,惯性力是虚拟力，没有施力者，也没有反作用力。不满足牛顿第三定律。,牛顿第二定律形式上成立,说明：,惯性力的概念可推广到非平动的非惯性系。,(1),(2),则,T,T,质量分别为 m1 和 m2 的两物体用轻细绳相连接后，悬挂在一个固定在电梯内的定滑轮的两边。滑轮和绳的质量以及所有摩擦均不计。当电梯以 a0=g/2 的加速度下降时。,解,取电梯为参考系,例,m1 和 m2 的加速度和绳中的张力。,求,对m1 有,对m2 有,d,P,力不在垂直于轴的平面内,力F 在垂直于轴的平面内,2.3 刚体转动定理,2.3.1 力矩,力

9、对z 轴的力矩,力对定轴力矩的矢量形式,（力对轴的力矩只有两个指向）,力矩的方向按右螺旋法则来确定,若力 也作用在P点上 则力矩大小相等，效果不同,即刚体受到多个力的力矩等于各个力的力矩矢量和。,刚体中内力对给定转轴的力矩的矢量和等于零，只需考虑外力矩的作用,当有 n 个力作用于刚体,2.3.2 转动定律,第 i个质元,切线方向,在上式两边同乘以 ri,对所有质元求和,内力矩之和为0,转动惯量 J,刚体绕定轴转动微分方程（刚体的转动定律）,与牛顿第二定律比较：,ri,转动定律表明：决定绕定轴转动刚体的转动状态变化与否，及变化快慢的量是外力矩之和,对于给定的外力矩，转动惯量愈大，角加速度愈小，即

10、刚体转动状态愈难改变,转动惯量是描述刚体对轴转动惯性大小的物理量,对于给定的绕定轴转动刚体，角加速度反映了它绕定轴转动状态的变化,2.3.3 转动惯量的计算,定义,质量不连续分布,质量连续分布,确定转动惯量的三个要素: (1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置,J 与刚体的总质量有关,例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,J 的单位：kg m2,J 与质量分布有关,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,O,L,x,dx,M,z,L,O,x,dx,M,平行轴定理,z,L,C,M,z,z, J 与

11、转轴的位置有关,刚体绕任意轴的转动惯量,刚体绕通过质心的轴,两轴间垂直距离,注意：(1) J 只是对某个轴的。 (2) dm 的取法：需使 dm上各点的 r 相等。,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,其中、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。,线分布,面分布,体分布,dm 为质量元，简称质元。其计算方法如下：,例 质量为m，半径为R 的均匀球体， 求 通过球心的轴的转动惯量,解 刚体质量体分布,将球体分成一系列半径不同的质量为dm的 “元”薄圆盘组成,由薄圆盘的转动惯量式,基本方法和步骤,求解联立方程,分析力，确定外力矩,列出转动定律和牛顿定律方程,列出线量和角量之间的关系式,2.3

12、.4 转动定律的应用举例,一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计， (见图),(1) 飞轮的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解 (1),(2),两者区别,例,求,对于刚体与质点刚性连接的联体力学问题：,通常采用隔离法将刚体与物体隔离，分别进行受力分析，写出相应的运动学及动力学方程，最后求解。,两种方程的关系通常由线量与角量的关系式体现,一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动

13、。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）,例,求,滑轮转动角速度随时间变化的规律。,解,以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析,滑轮 m：,物体 m1：,物体 m2：,例 如图所示，定滑轮的半径为R ，用不能伸长的轻绳跨过滑轮两边分别系于 A物体和 B 物体上，绳与滑轮间无相对滑动。（设水平面和轮轴光滑无摩擦）,求 两物体的线加速度和水平、竖直两段绳索的张力,解,以mA ， mB ， m C为研究对象, 受力分析,物体 mA：,FT2,FT1,FT2,FT1,N,GA,物体 mB ：,GB,滑轮 mC ：,GC,FC,例 上题中，若滑轮与轴承间的摩擦不能略去不计，并设它们之间的摩擦阻力矩为 Mf （设水平面光滑无摩擦）,求 两物体的线加速度和水平、竖直两段绳索的张力,解,以mA ， mB ， m C为研究对象, 受力分析,物体 mA：,FT2,FT1,FT2,FT1,N,GA,物体 mB ：,GB,滑轮 mC ：,GC,FC,作业,2.1;2.2;2.7;2.8;2.9; 2.11;2.12;2.13;2.15;2.16;2.17;,