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1、第十五章 傅里叶级数,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,三、收敛定理,15.1 傅里叶级数,一、 三角级数 正交函数系,15.1 傅里叶级数,在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简,所表达的周期运动也称为简谐运动，其中 为振幅， 为初相角，,较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加,单的周期运动，可用正弦函数 来描写。,为角频率，于是简谐振动 的周期是,1.三角级数,三角级数,定理15.1,若级数,(4),收敛, 则级数(1)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.,2.三角函数系的正交性,构成三角级数的基本要素:,(5),性质:,(7),(8),具有正交性的三角函数系是正交
2、函数系。,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,若在整个数轴上,且等式右边级数一致收敛,则,定理15.2,(9),(10b),(10a),证:,由定理的条件, f(x)在-, 上连续且可积, 对(9)式逐项积分, 得,以coskx乘(9)式两边, 得,同理可得:,定理15.2,若在整个数轴上,(9),且右边的级数一致收敛, 则有以下关系式:,(10a),(10b),(11),三、收敛定理,. 按段光滑函数:,若函数 在 上至多有有限个第一类间断点，且 仅在 上,有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称 是 上的按段光滑函数。,定义：若 的导函数 在 上连续，则称 在 上光滑。,按段光滑函数的性质:
3、,设函数 在区间 是按段光滑，则,收敛定理:,推论：,注:,(1) 收敛定理只是对周期函数而言的；,(2) 若f(x)为以2的周期函数，则有,(3) 具体讨论函数的傅里叶展开式时，常只给出函数在一个周期的表达式，此时要把其视为在整个数轴上的周期函数,(4),当只给出一个周期的表达式时，傅里叶级数在两端点的值 可用 上述公式求之.,解：,由于,显然 是按段光滑的,故由收敛定理，它可以展开成傅里叶级数。,所以在开区间 上,于是，在,例2 把下列函数展开成傅里叶级数,解：,及其周期延拓的图形如图所示，显然 是按段光滑的，,因此它可以展开成傅里叶级数。,所以,所以,因此,由 或 都可推得,(1),(2),