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1、第十五章 电路方程的矩阵形式,重点,关联矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念,KCL、KVL 方程的矩阵形式,3. 回路电流方程、结点电压方程的矩阵形式,下 页,15.1 图的矩阵表示,电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可以写出网络的 KCL 和 KVL 方程。,图的矩阵表示,用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。,下 页,上 页,(1) 把 Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分；,(2)保留 Q 中的一条支路，其余都移去， G 还是连通的。,Q1: 2 , 5 , 4 , 6 ,割集 Q 是连通图 G 中一个支路的集合，具有下述性质：,1. 割集,下 页,上
2、页,Q4: 1 , 5 , 2 ,Q3: 1 , 5 , 4,Q2: 2 , 3 , 6 ,（1）由于 KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说，组成割集的所有支路的电流应满足 KCL。,（2）对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等的 KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。,借助于“树”来确定独立割集。,注,下 页,上 页,单树支割集（基本割集）,连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。,由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有n个节点和b条支路组成的电路，树支数有（n-1）个，因此可以构成（n-1）单树支割集。称之为基本割集
3、组。,下 页,上 页,三个分离部分,保留4支路，图不连通的。,下 页,上 页,2. 关联矩阵,一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。,n 个结点 b 条支路的图用 n b 的矩阵描述,ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点;,ajk= 1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点;,ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。,每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，矩阵Aa的每一个元素定义为：,下 页,上 页,例,-1 -1 0 1 0 0,0 0 1 -1 -1 0,1 0 0 0 1 1,0 1 -1 0 0 -1,（1
4、）每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是1， Aa的每一列元素之和为零。,（2）矩阵中任一行可以从其他 n-1 行中导出，即只有 n-1 行是独立的。,关联矩阵Aa的特点：,引入降阶关联矩阵A,下 页,上 页,设为参考节点,得降阶关联矩阵,设为参考节点,得降阶关联矩阵,注,给定A可以确定Aa，从而画出有向图。,下 页,上 页,引入关联矩阵A的作用：,设:,用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程,A i =,矩阵形式的KCL: A i = 0,以为参考节点,n-1个独立方程,下 页,上 页,设:,用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程,下 页,上 页,3. 回路矩阵B,1 支路 j 在回路 i 中
5、，方向与绕行方向一致,-1 支路 j 在回路 i 中，方向与绕行方向相反,0 支路 j 不在回路 i 中,一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵 B 描述。,每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路，矩阵B 的每一个元素定义为：,下 页,上 页,例,取网孔为独立回路，顺时针方向,注,给定 B 矩阵可以画出有向图。,下 页,上 页,选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。,1 2 3,1 -1 0 1 0 0,1 -1 1 0 1 0,= Bt 1 ,0 1 -1 0 0 1,例,（2）支路排列顺序为先树支后连支，回路顺序与连支顺序一致,若独
6、立回路选单连支回路，得到基本回路矩阵 Bf ，规定：,（1）连支电流方向为回路电流方向,下 页,上 页,设,矩阵形式的KVL： B u = 0,引入回路矩阵 B 的作用：,用回路矩阵 B 表示矩阵形式的KVL方程, B u =,下 页,上 页, Bf u = 0 可写成,Bt ut + ul = 0,ul = Bt ut,连支电压用树支电压表示,下 页,上 页,矩阵形式的KCL： B T il = ib , Bf = Bt 1 ,树支电流用连支电流表示,独立回路电流,设,用回路矩阵 B T 表示矩阵形式的 KCL 方程,下 页,上 页,4. 基本割集矩阵 Q,每一行对应一个基本割集 每一列对应
7、一条支路。 矩阵 Q 的每一个元素定义为：,1 支路 j 在割集 i 中且与割集方向一致,-1 支路 j 在割集 i 中且与割集方向相反,0 支路 j 不在割集 i 中,割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。,下 页,上 页,规定： (1)割集方向为树支方向 (2)支路排列顺序先树支后连支 (3)割集顺序与树支次序一致,若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵 Qf,例,选 4、5、6支路为树,Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6,下 页,上 页,设,矩阵形式的KCL：,引入基本割集矩阵 Qf 的作用：,用基本割集矩阵 Qf 表示矩阵形式的KCL方
8、程, Qf ib =,矩阵形式的KCL： Qf ib = 0,下 页,上 页,设树枝电压（或基本割集电压）：,ut= u4 u5 u6 T,用 Qf T 表示矩阵形式的KVL方程,矩阵形式的KVL： Qf Tut =ub,下 页,上 页,连支电压用树支电压表示,下 页,上 页,Q,Q i = 0,QT ut= u,小结：,ul = Bt ut,A,B,KCL,A i = 0,BT il = i,KVL,AT un= u,B u=0,下 页,上 页,对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：,在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关联矩阵A，选择一树可以写出基本回路矩阵 Bf 和基本割集矩阵
9、 Qf ，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。,15.2 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系,1. A与B之间的关系,下 页,上 页,对同一有向图，任选一树，满足：,2. B 与Q 之间的关系,下 页,上 页,对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：,3. A 与Q 之间的关系,下 页,上 页,例,已知：,求基本割集矩阵，并画出网络图。,解,下 页,上 页,15.3 支路电压电流关系的矩阵形式,反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。,1.复合支路,设标准复合支路为：,复合支路,（1）,（2）,特点：,下 页,上
10、 页,注,复合支路只是定义了一条支路最多可能包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。,（3）,下 页,上 页,下 页,上 页,2.阻抗矩阵形式,应用 KCL 和 KVL 可以写出用阻抗表示的第 k条支路电压、电流关系方程：,如有b条支路，则有：,下 页,上 页,设,各支路电流列向量,各支路电压列向量,各支路电压源电压列向量,各支路电流源电流列向量,各支路阻抗,下 页,上 页,整个网络的支路电压、电流关系矩阵：,bb阶对角阵,下 页,上 页,写出图示电路支路电压、电流关系矩阵：,例,解,下 页,上 页,3.有互感时的阻抗矩阵形式,下 页,上 页,下 页,上 页,一般情况,下 页,上 页,
11、4.有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式,例,下 页,上 页,5. 支路导纳矩阵形式,下 页,上 页,不含互感和受控源的网络,bb阶对角阵,下 页,上 页,含有互感的网络,下 页,上 页,含有受控电流源的网络,下 页,上 页,下 页,上 页,考虑 b 个支路时：,下 页,上 页,15.4 网络矩阵的分析方法,有了反映元件性质的支路电压和支路电流矩阵方程和KCL、KVL的矩阵表示，就可以对任意复杂的网络进行网络矩阵分析。,1.结点电压方程的矩阵分析,最常用的方法,由KCL有,由KVL有,支路VAR,下 页,上 页,结点导纳阵,独立电源引起的流入结点的电流列向量,下 页,上 页,结点分析法的一般步骤,第一步：抽象为有向图,第二步：写出A,下 页,上 页,第三步：写出Y ,第四步：写出 US 、 IS ,下 页,上 页,第五步：用矩阵乘法求得节点方程,下 页,上 页,下 页,上 页,下 页,上 页,代入,下 页,上 页,2.回路矩阵分析法,用阻抗表示的支路方程：,回路电流il (b-n+1)1阶,下 页,上 页,回路电压源列向量,回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。,回路矩阵方程,下 页,上 页,从已知网络，写出,回路分析法的步骤,根据支路方程解出,下 页,上 页,下 页,上 页,例,下 页,上 页,