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1、第十五章 虚位移原理,虚位移的英文名词是 virtual displacement . 意思是 可能的位移. 不管是 虚 也好, 还是 可能 也好, 它的力学含义是: 仅为约束条件所允许的位移.,引言,质点被约束在某一平面上, 其上有力的作用. 显然, 在此平面上有无限多为约束所允许的 位移.,怎样判断质点是平衡的? 如果沿任何可能的位移方向力系作功之和不为零, 则质点必有动能的增加, 因而不是平衡的. 如果沿任何为约束所允许的可能的位移作功之和为零, 则我们说质点是平衡的 这正是我们判别平衡的另一个准则 虚位移原理.,15 1 约束 . 虚位移 . 虚功,约束及分类 约束: 限制物体运动的条
2、件,约束的分类: ( 1 ) 几何约束 约束方程 表示为空间坐标的函数. 运动约束 约束方程中含有空间坐标对时间的导数,B、C 点的约束方程:,A点的约束方程:,(2)定常约束 约束方程不显含时间t . 非定常约束 约束方程显含时间t .,A点的约束方程:,( 3) 双面约束 约束条件用方程给出. 单面约束 约束 条件用不等式给出.,A点的约束方程:,(4) 完整约束 几何约束和可积分的运动约束. 非完整约束 不可积分的运动约束.,冰刀在冰面上的运动.,圆轮的直线纯滚动.,可积分的运动约束,2. 虚位移 定义: 在给定瞬时, 质点系在约束所允许的条件下的任意 的无限小的位移. : (1) 虚位
3、移是 等时变分 的概念. 不论约束是否定常, 必须把时 间 冻结 , 在此前提下才有虚位移的概念. (2) 虚位移仅为约束条件所允许即可, 而实位移除此之外还须由 动力学方程和初始条件等而定. 同一点的实位移只能有一个, 而虚位移可以有无穷多. (3) 稳定约束( 定常约束 )下, 实位移是众多虚位移中的一个.而在 非 定常约束下则不然.,实位移,虚位移,: 理想约束 : 定义 : 若其约束反力的功或约束反力的功之和为零, 这种约 束称为 理想约束.,: 虚位移的求法: 1. 几何法 - 用几何学或运动学的条件直接求得. 例一. 试用OA杆的转角的变分 表示A、B、C、D各点的虚位移, 已知O
4、A = r.,解:,由瞬时平动的概念:,由虚速度投影:,建立坐标系如图:,3. 混合法:,15 2 虚位移原理,虚位移原理: 在完整, 定常, 理想约束下的质点系静止平衡 的充分必要条件是: 作用于质点系上的主动 力在任何虚位移中的元功之和为零.,即是: 质点系的静止平衡,解: 取系统分析, 设手柄顺力偶的方向 转了 角 ( 力学语言称: 给螺杆以虚位移 ) , 则压板的虚位移为s . 由虚位移原理:,:两种常 用的形式:,例二. (参见书上例15 2 ) 图示结构, 已知力P作用于G点. 各杆都以光滑铰链连接. AC = CE = BC = CD = DG = GE = l .在G、C 间有
5、一刚度为k 的弹簧, 在 图示夹角为时 弹簧的伸长量为0 . 求支座 B处的水平约束反力.,解: 解除B 处相应的约束, 代之以相应的水平力和活动铰 支座, 去掉弹簧, 代之以相应的弹簧力. 在图示坐标下,式中 F1 = F1= k0,例三. 求图示组合梁的支座B 处的约束反力.,已知: q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m,解: 为便于计算, 将均布载荷 等效简化成集中力.,q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m,去掉B 支座代之以FB , 原结构变成一个自由度的系统. 设CE杆绕E点有一个虚角位移
6、, 则各处有关的虚位移如图.,由,若求A 处支座反力则系统的虚位移分析如图示: ( 注意: 整体分析可知A 处的水平力为零. 故A 处只有竖直反力),q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m,设A 处给一向上的虚位移rA. ,显然有:,若求 处E支座反力, 则系统的虚位移分析如图示.,q=400N/m , P = 200N . M = 200 m.N . l = 8m,设E 处有一向上的虚位移rE ,例四. 试用虚位移原理求图示结构中1号杆的内力. 已知 力P 及 = 30.,解: 取出1号杆, D、E 铰处受的力为对其的反作用力. 给D 点以一虚位
7、移rD . 则相关的虚位移如图示, 特别是B、 C 点的虚位移为零.,由虚速度投影:,由虚位移原理:,例五. 图示机构, 不计各构件自重和各处摩擦, 求机构在图示位置平衡时, 主动力偶 矩M 与主动力F之间的关系.,解: 设B 点有一虚位移rB,而AB 杆绕O 点的虚角位移,则B 点的牵连虚位移为,由虚位移原理:,习 17 3 挖土机的挖掘部分如图示. 支臂DEF 为固定, A , B, D, E, F 处为光滑铰链, 液压缸AD 伸缩时可通过连杆AB 使挖斗BFC 绕 F 转动, EA = FB = r . 当1 = 2 = 30 时 杆AE DF , 此时油缸的推力为 F . 不计构件的重
8、量. 求: 此时挖斗可克服的最大阻力矩M.,解: 设在油缸的推力下 A 点有一虚位移 rA , 则相关 的B 点的虚位移如图.,由虚速度投影:,由虚位移原理:,习 17 11 图示均质杆AB 长 2l , 一端靠在光滑的铅直面上, 另一端放在光滑曲面DE 上. 欲使AB杆能在静止在铅垂平面的任意位置. 问曲面的曲线DE 的形式是怎样的?,解: 由于约束反力不作功, 仅重力作功. 若AB 杆在任意的位置皆能静止, 则重力的功为零. 由此可知AB 杆在运动中质心保持同一高度.,选坐标如图示.,A, B 点的轨迹控制着质心的位置 , 在任何时候都应有:,曲面的形状应是椭圆柱面,习 17 8 图示滑套D 套在光滑的直杆AB 上, 并带动杆CD 在铅直的滑道上滑动. 已知 = 0 时弹簧为原长, 弹簧的刚性系数为 5 kN /m. 求: 在任意位置平衡时, 应加多大的力偶M ?,解: 题意即为平衡时力偶M 与的关系,选 为广义坐标, 设图示位置系统平衡 D 点的虚位移分析如图,图示位置的弹簧力,由虚位移原理,