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1、三、反函数,域为,值域为,一般地,上不仅单值,调,看,新函数,作因变量,反函数,的定义域为,值域为,相对反函数,原来的函数,称为直接函数.,而且单,得到的,数.,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,在同一个坐标平面内,定理（反函数存在定理）：,单调函数 f 必存在单调,的反函数 ，且此反函数与 f 具有相同的单调性.,牢记反函数的下列关系式,例如 ：sinx arcsinx； cosx arccosx；,tanx arctanx； cotx arccotx；,例1,解,令,则,故,即,解得,改变变量的记号,即得到所求反函数:,例2,解,由题设,易得,解,解,所以反函数为,.,复合函数,引例
2、,设,定义,而函数,的值域为,若,则称函数,注:,中间变量,因变量,即,通常记为,(2),不是任何两个函数都可以复合成一个复合函,复合函数,(2),不是任何两个函数都可以复合成一个复合函,例如,因前者定义域为,而后者,故此两函数不能复,合成复合函数.,数的.,(3),复合函数可以由两个以上的函数经过复合构,例如,成的.,例3,设,求,解,例4,将下列函数分解成基本初等函数的复合:,解,是由,四个函数,是由,三个函数,复合而成;,复合而成;,是由,例4,将下列函数分解成基本初等函数的复合:,解,是由,三个函数,复合而成;,是由,例4,将下列函数分解成基本初等函数的复合:,解,是由,三个函数,复合
3、而成;,是由,六个函数复合在而成.,分段函数的复合运算,例5,设,求,解,或,或,解,或,或,解,或,或,或,或,所以,.,隐函数,当函数的因变量与自变量的对应关系是由方程,则称此函数为隐函数.,所确定，,它的确切含义是对任意的x,由方程,只能唯一计算出一个y与之对应。,当函数用数学式子y=f(x)这种形式给出时，它明,确给出因变量与自变量的对应关系，这是常见,的函数形式，称为显函数。,例如：,是一个隐函数,以下函数称为基本初等函数,1.幂函数：,2.指数函数：,3.对数函数：,4.三角函数：,5.反三角函数：,（ 是常数）,（ 是常数 , ）,（ 是常数， ）,四、初 等 函 数,(一)幂函
4、数的图形,同一坐标系中幂函数的图象,(二)指数函数的图形,同一坐标系中指数函数的图象,(三)对数函数的图形,同一坐标系中对数函数的图象,正弦函数 的图象,(四)三角函数的图形,余弦函数 的图象,(五)反三角函数的图象,由常数及基本初等函数经过有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数，叫作初等函数.,例如,非初等函数的例子:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,双曲正弦与双曲余弦函数,若,则称 f (x) 为双曲余弦.,若,则称 f (x) 为双曲正弦.,记,记,又如,而双曲余,双曲正弦、双曲,可以验证：,正切都是奇函数，,称为双曲正切.,记,弦是偶函数. 容易验证,它们满足下列公式：,求双曲正弦函数,的反函数.,令,则双曲正弦函数为,由此得,解得,即,故得,所以，双曲正弦的反函数为,且,课堂练习题,证明,证: 令,则,由,消去,得,时,其中,a, b, c 为常数,且,为奇函数 .,为奇函数 .,1. 设,2. 求,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,