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1、1,复变函数 第13讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,3 留数在定积分计算上的应用,3,1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq)为cosq与sinq的有理函数. 令z=eiq, 则dz=ieiqdq,4,其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.,5,例1 计算 的值.,解 由于0p1, 被积函数的分母在0qp内不为零, 因而积分是有意义的. 由于 cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2, 因此,6,7,在被积函数的三个极点z=0,p,
2、1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.,8,9,10,取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,11,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,12,13,14,15,3. 形如 的积分,当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(x)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的 象2中处理的一样, 由于m-n1, 故对充分大的|z|有,16,因此, 在半径R充分大的CR上, 有,17,注: 在半圆CR上的曲线积分, 半圆
3、曲线的参数方程为:,因此,18,不等式, 当 时,的图示,1,19,20,21,例4 计算积分 的值,解 因为 是偶函数, 所以,上式右端的积分与例3中所计算的积分类似, 故可从eiz/z沿某条闭曲线的积分来计算上式右端的积分. 但是, z=0是eiz/z的一级极点, 它在实轴上.,22,为了使积分路线不通过原点, 取如下图所示的路线. 由柯西-古萨基本定理, 有,23,令x=-t, 则有,即,24,因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限,(5.3.3),下面将证明,25,由于,所以,(5.3.4),26,j(z)在z=0处解析, 且j(0)=i, 当|z|充分小时可使|j(z)|2, 由于,而,在r充分小时,27,从而有,因此得到,(5.3.5),所以由(5.3.3),(5.3.4)与(5.3.5)就可求得,即,28,29,30,31,或,当R时, 上式右端第一个积分为,32,而第二个积分的绝对值:,因此,令两端的实部与虚部分别相等,得,33,作业: 第184页 第13题,