第7章轴向拉伸和压缩7拉伸和压缩ppt课件.ppt

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1、第7章 轴 向 拉 伸 和 压 缩,7.1 拉伸和压缩,7.2 拉（压）杆横截面上的内力,7.3 轴力图,7.4 轴向拉伸与压缩时的应力,7.5 拉（压）杆斜截面上的应力,7.6 轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能,7.7 材料拉伸时的力学性能,7.8 材料压缩时的力学性质,7.9 拉伸（压缩）杆件的强度计算,7.10 应力集中,7.11 拉压超静定问题,1 拉伸和压缩,轴向拉伸，对应的外力称为拉力。,轴向压缩，对应的外力称为压力。,2 拉（压）杆横截面上的内力,以图示为例 ，用截面法确定杆件横截面 mm上的内力。 用假想平面将杆件沿横截面 mm 截开 根据平衡，如图,m,m,杆件左右两段在

2、横截面 mm 上相互作用的内力，是一个分布力系。,设其合力为 有平衡条件，可得 (2-1) N与轴线重合，称为轴力。,一般规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。,3 轴力图,X坐标 表示杆件横截面的位置，平行于杆轴。 N坐标 表示轴力的大小，垂直于杆轴。,N,P,x,按选定的比例绘出表示轴力与截面位置关系的图线 称为轴力图,轴力图的意义：,反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观； 反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。,轴力的正号,使微元区段有伸长趋势的轴力正。,轴力的负号,例：杆件受力如图（a）所示，试绘制轴力图。,(b),解：（1）计算各段杆的轴力

3、AB段：轴力假设为拉力，用 表示,得,(负号说明为压力),(a),P,2,P,B,C,D,同理：求得BC、CD、段的轴力分别为：,(a),(d),(c),（2） 轴力图如图（e）所示。,(e),在轴力图中，突变值=集中载荷,例2-1 等截面直杆受力如图a所示， P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆 的轴力图。,A,B,C,D,(a),1,m,2,m,1.5,m,(b),解 （1）求支座反力 设支反力为R如b图 根据整个杆的平衡条件 求得,例2-1 等截面直杆受力如图a所示， P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆 的轴力图。,(c),（2）计算各段

4、杆的轴力 AB段：用假想平面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象（图c），截面上的轴力假设为拉力，用N1表示。 由平衡条件,例2-1 等截面直杆受力如图a所示， P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆 的轴力图。,(c),同理求得 : BC段（图d）、 CD段（图e）的轴力：,(e),(d),（3）绘制轴力图 轴力图如图f所示。从轴力图可见，AB段内的轴力值最大，Nmax=N1=120kN。,轴力是内力，它与外力有关，但又不同于外力。,(a),(f),4 轴向拉伸与压缩时的应力 一. 正应力公式：,仅由上述静力关系式还不能确定和N之间的具体关系。,下面从研究杆件的变形入手

5、来寻求的变化规律。 如左图： 变形后可观察到如下现象：,变形前,变形后,（1）杆件被拉长。但各横向线仍保持为直线，任意两相邻横向线相对地沿轴线平行移动了一段距离； （2）变形后，横线仍垂直于轴线。,扭转,弯曲,由以上的观察可得，杆件变形的平截面假设,拉压,杆件的横截面在拉压、扭转或弯曲变形过程中始终保持是平面，并始终保持与轴线垂直。,根据平面假设和材料均匀、连续的性质，可知： 横截面各点处的分布内力集度（即正应力）均相等，于是有 因此拉（压）杆横截面上的正应力为,的符号规定与N相同，拉应力为正，压应力为负。,上述正应力公式的推导过程用到了变形几何，物理和静力平衡三方面的规律。 材料力学的分析方

6、法,三类分析的综合,1. 力学分析,研究构件中的各个力学要素（包括外力和内力；包括力和力偶矩）之间的关系。,2. 物理分析,研究材料的力学性能，研究构件的力学要素（有时还包括热学要素）与几何要素之间的关系。,荷载与变形量之间的关系,温度变化与应力、变形量之间的关系,构件内部应力与应变之间的关系,3.几何分析,研究构件和结构中各几何要素之间的关系。,构件中应变和变形量之间的关系,结构中各构件变形量之间的关系,二. 正应力公式的使用条件 1. 外力合力作用线必须与杆轴线重合。 2. 杆件必须是等直杆。 若横截面尺寸沿轴线变化，对于变化缓慢的杆：,（2-4）,3. 公式只在距外力作用点一定距离外才是

7、正确 的。,圣维南原理 虽然力作用于杆端的方式不同，只要它们是静力等效的，则杆件中应力分布仅在作用点附近不大的范围内(不大于杆的横向尺寸)有明显影响。,应力等效,例2-2 图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。若载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。,解（1）计算各杆轴力 用截面法，截取结点B为研究对象，各杆轴力假定为拉力。 由平衡方程 得,例2-2 图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。若载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。,（2）计算各杆应力，得,5 拉（压）杆斜截面上

8、的应力,沿斜截面kk（如图），将杆截分为二。 研究左段杆的平衡，得到斜截面kk上内力,(a),(b),（a）,斜截面kk的面积为 ， 横截面积为A， 于是有,式中 为横截面（ ）上的正应力。,（b）,A,斜截面全应力 的分解： 垂直于斜截面的正应力 ： （2-5） 相切于斜截面的剪应力 ：,可见，斜截面上不仅存在正应力，而且还存在剪应力，其大小随截面的方位而变化。,Pa,ta,sa,a,（2-6）,x,、 、 的符号规定如下,x,1.当 时（横截面）,即横截面上的正应力是所有各截面上正应力的最大值。,3.当 时 当 时 即在斜截面上，剪应力有最大、最小值，且其数值为最大正应力的一半。,一、纵向

9、变形虎克定律 一等直杆如图所示，设杆的原长为 ，横截面面积为A。在轴向拉力P作用下，杆的长度由 变为 。,6轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能,轴线方向总伸长为 (a),试验表明： 引入比例系数E，则有 （b） 对于仅在两端受轴向外力作用的等直杆，由于N=P，故式（b）可改写为,杆件拉伸时， 为正；杆件压缩时， 为负。,（2-7）,式（2-7）就是轴向拉伸与压缩时等直杆轴向变形的计算公式，通常称为虎克定律。 E 与材料的性质有关，称为材料的拉压弹性模量，其值可由实验确定。 EA 反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。,（2-7）,若将 和 代入公式（2-7） 可得

10、或 （2-8） 这是虎克定律的另一种表示形式。 虎克定律又可表述为：当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。因为应变没有量纲，弹性模量E有与应力相同的量纲。 最后指出，公式（2-7）只有当轴力N、横截面面积A、材料的弹性模量E在杆长l内为常量时才能应用。,（2-7）,对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件： 当轴力 和横截面积 沿杆轴线x方向连续变化时，有 二、横向变形泊松比 设杆件变形前的横向尺寸为b，变形后为b1，则杆的横向线应变为,（2-9）,（2-10）,试验表明：横向应变与纵向应变之间满足如下关系 因与的符号相反， 故有 称为泊松比或横向变形系数，是一个无量纲的量，其值随材料的不同而不同

11、。 E 、 都是材料本身所固有的弹性常数，是反映材料弹性变形能力的参数。,（2-11）,（2-12）,例1 阶梯钢杆如图所示。已知AC段的截面面积为A1=500mm2，CD段的截面面积为A2=200mm2，钢杆的弹性模量E=200GPa。试求： （1）各段杆横截面上的内力和应力； （2）杆的总伸长。,解 （1）内力计算,用截面法沿11、22面截开，计算轴力, 得：,绘出轴力图。,（2）应力计算 （3）杆的总伸长 计算结果为负，说明整个杆是缩短的。,例2 尺寸为=的钢板如图所示，其材料的弹性模量E=200GPa，泊松比。求钢板在两端受到合力为140kN的均布载荷作用时厚度的变化。,250,10,

12、50,解 在两端的均布载荷作用下，钢板发生轴向拉伸变形。其横截面上正应力可按公式（2-1）计算，即 （a） 由虎克定律 （b）,横向线应变为 于是 （c）,将式（b）代入式（c），并考虑式（a），得 即钢板的厚度减小了0.0035mm。,三、轴向拉压时的变形能,在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，成为变形能或应变能。,弹性体变形,储存能量,外力做功,外力减小,变形减小,释放能量,如图，受轴向拉伸的直杆，下端受从零开始逐渐增加的拉力作用，直至最终数值P。作用点的位移也逐渐增大至 ,在应力小于比例极限的范围内，拉力P与 成正比。,(a),(b),显然 dW 等于图中画阴影线部分的微分面积。 W

13、 等于 图中三角形的面积:,若不计任何能量损耗，根据功能原理，弹性体内储存的变形能U应等于拉力P所做的功W。即 考虑轴力，并引出虎克定律，得,（2-13）,（2-14）,变形能的单位为焦（J） 引入单位体积内的变形能的概念，我们称为变形比能（简称比能），记作u。 由虎克定律，上式又可写成 比能的单位是,（2-15）,（2-16）,7 材料拉伸时的力学性能,材料的力学性能 材料在受力变形过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特性。 1.实验条件：材料在室温下，以缓慢平稳加载方式进行的拉伸试验和压缩试验 2.实验对象：圆截面的拉伸标准试件如图所示：, 标矩。 圆试件的直径 在国家标准中标矩，与直径d

14、有两种比例： 即 和,一、低碳钢拉伸时的力学性质,低碳钢是指含碳量在0.25%以下的各种碳素钢。用它来阐明塑性材料的一些特性。 下图是低碳钢拉伸时绘制的 曲线，这个曲线也称为拉伸图。,f,d,h,1.在低碳钢的整个拉伸试验过程中，其 曲线可以分为如下四个阶段：,h,g,d,一、弹性阶段 二、屈服阶段 三、强化阶段 四、局部变形阶段,f,2.延伸率和截面收缩率,延伸率是衡量材料塑性的主要指标。,（1）延伸率：,（2-17）,（2）截面收缩率 A1 试件断裂后断口处最小横截面面积， A0 试件原来的横截面面积 截面收缩率也是衡量材料塑性的指标。,（2-18）,3.卸载定律和冷作硬化,（1） 卸载定

15、律,超过弹性范围后的任一点d所对应的总应变包含弹性应变和塑性应变两部分。,h,g,e,f,0,a,b,c,d,（2）冷作硬化,e,f,h,g,0,a,b,c,d,在常温下，把材料拉到塑性变形，然后卸载，当再次加载时，比例极限提高而塑性降低,工程上某些塑性材料没有明显的屈服阶段，通常规定塑性应变 时的应力为名义屈服极限，用 表示。,二、其他塑性材料拉伸时的力学性能,灰口铸铁是典型的脆性材料 断裂时的应力就是强度极限 它是唯一的强度指标。 有时选一条割线来确定E值， 并认为材料服从虎克定律。,三、铸铁拉伸时的力学性质,8 材料压缩时的力学性质,（一）塑性材料 黄色线 低碳钢压缩时的曲线 绿色线 低

16、碳钢拉伸时的曲线,（二）脆性材料 如图：铸铁压缩时 的曲线。 实验表明： 曲线没有“屈服点”，试件在较小变形下突然破坏，破坏面与轴线大致成45度的倾角。,（三）几种常用材料的主要力学性能,比例极限 弹性极限 屈服极限 （ ） 强度极限 弹性模量 E 延伸率 截面收缩率,衡量材料力学性能的主要指标有：, 材料允许承受的最大应力。 破坏应力材料破坏时的应力值， 或称极限应力,n 为大于1的数，称为安全系数。,(2-19),塑性材料,脆性材料,9 拉伸（压缩）杆件的强度计算,一、许用应力与安全系数,二、强度条件 对等截面杆 式（2-20a，b）即是轴向拉（压）杆件的强度条件。产生最大工作应力的截面称

17、为危险截面。,(2-20a),（2-20b）,利用强度条件，可以解决工程中下列三个方面的强度计算问题： 1.强度校核 2.设计截面 由上式算出需要的横截面面积，然后确定截面尺寸。,3.确定许用载荷,例 简单结构受力如图，q是均布在水平长度上的载荷集度，设AC为刚性杆，BD杆为圆截面， ， 。计算BD杆的直径以及C点的铅垂位移。,解（）设BD 杆的拉力为N，由平衡条件 得 再由强度条件得,可取d=26mm,(2)计算C点的铅垂位移。 刚性杆AC转到新位置AC1，D点移到D1。在小变 形时，用作垂线代替作弧，可知CC就是C的铅垂位移，可得BD杆的伸长 再由几何关系,A,B,D,C,D2,D1,C1

18、,C2,C3,30,于是 讨论：对于本题，如规定C点的铅垂位移不超过 ，即要求整个结构具有一定的刚度。这时，可先算出C点的铅垂位移 ，再和容许位移 进行比较，如能满足 ，刚度是足够的，我们称此条件为刚度条件。对于某些结构或系统，如 桁架，汽阀机械等要考虑刚度条件，即要求某些点的位移不能过大。对于大多数承受拉压的工程构件，往往只要求强度足够，而不用讨论它的刚度,例3 等圆截面直杆受力如图所示，材料为铸铁，其拉伸许用应力 ，压缩许用应力 ，弹性模量 。求： （1）画出轴力图； （2）设计横截面直径； （3）计算杆的总伸长。,解 （1）画轴力图。 由截面法求得N1=20kN、N2=0、N3=-30k

19、N,由此可画出轴力图如图所示。,(b),（2）设计横截面直径。 I、III两段中的截面都是危险截面。 按拉伸强度设计,按压缩强度设计 故该杆直径应取20.6。 结果表明，尽管该杆的轴向拉力比轴向压力小，但是杆件的横截面尺寸还是由拉力决定，这是因为铸铁的抗拉能力比抗压能力低。,（3）计算杆的总伸长。 根据公式（2-6），该杆的总伸长为 “-”表示杆件实际上是缩短了。,例4 铆钉连接结构如图a所示，已知主板受到的轴向拉力P=110kN，其材料许用应力 ，板宽b=80mm，板厚t=12mm。若各铆钉的材料和直径均相同，且铆钉孔直径d=16mm。试校核板的强度。,解 （1）分析内力，做出上主板的轴力图

20、。 （2）确定危险截面。 得出2-3段和1-2段都是危险截面。 1-2段,2-3段 因为板的各段都满足强度要求，故此主板安全。,例5 薄壁圆筒容器承受内压p作用，如图a所示。若已知圆筒直径为D，壁厚为t，试求其横截面上的应力及纵截面上的应力。,解 因为圆筒承受内压，故其横截面和纵截面上的应力都是拉应力。 求：横截面上的应力 。 平衡方程： 得 P是沿圆筒轴线作用于筒低的总压力，其值为,(a),(b),N是圆筒横截面上的轴力， 由于薄壁圆筒横截面面积为 ，故轴力为 而(a)、(b)式为 (a) (b) 将式（b）、(c)代入式（a），得,(c),（2）求纵截面上的应力 取上半圆环为研究对象，其受

21、力图如图c、d所示。 由平衡方程 得 由此求得 即薄壁圆筒受内压作用时，周向应力 为轴向应力 的两倍。,10 应力集中,应力集中 在构件截面突然改变的局部区域内，应力急剧增加，而离开这个区域稍远处，应力又趋于缓和。,(a),应力集中系数 :, 发生应力集中的截面上的最大应力, 截面上的平均应力,比较均质的脆性材料 灰口铸铁这类非均质的脆性材料,在静载下，不同材料对应力集中的敏感程度是不同的,11 拉压超静定问题,一、超静定的概念 作用于研究对象上的未知力数多于静力平衡方程的数目，就不能单凭静力平衡方程求出未知力，这种问题称为超静定问题（或静不定问题）。 未知力多于静力平衡方程的数目称为超静定次

22、数。,二、超静定问题的解法,以图为例，说明超静定问题的解法。 两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。 （1）平衡方程： A、B 两端的约束反力,(a),两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。,（2）变形协调方程：,（3）通过物理关系将变形用未知力表示,(b),两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。,带入(b)式得：,(b),两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。,整理后得：

23、,(c),（c）式称为补充方程,(b),(a),联立（a）、（c）求解得,各段内力： 可见CD段内力最大，故,求解超静定问题的一般步骤归纳为：,平衡方程； 几何方程变形协调方程； 物理方程胡克定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,例2-3 由三根杆组成的结构，如下图所示。若1、2杆的抗拉刚度同为 ，3杆的抗拉刚度为 ，在P力作用下，试求三杆的内力。,解：（1）静力平衡关系 设三杆轴力皆为拉力，有节点A的平衡条件 （2）变形几何关系 在 中有以下变形谐调条件,(a),(b),（b）,（a）,(a),(b),（3）物理关系 根据虎克定律 代入（b）式得补

24、充方程 （4）联立求解式（a）、（c）得,（a）,（c）,（d）,例.4 支架中三根杆件的材料相同，横截面面积分别为 ，试求各杆内的应力。,解： （1）平衡条件 设三杆皆为拉杆，由（b）图可知，,(b),（a）,（b）,(c),（2） 变形条件 设 是变形后A点的位置，由 分别向1、2、3杆轴线做垂线， 设 ， 则有,A,消去 参数后有 这就是变形协调条件，将物理关系代入后就得到补充方程。以下请同学们自行完成。,装配应力 例2-5 吊桥吊索的一节有三根长为l的钢杆组成。若三杆的横截面积相等，材料相同，中间钢杆的加工误差为 ，这里负号表示短于名义长度。设 ，试求各杆的装配应力。,(a),解：吊索

25、的一节简化成图b所示的超静定结构。 (1)平衡条件为 (2)变形谐调条件为,（a）,（b）,则有物理关系 代入式（b）得补充方程， （c） 联立求解（a）、（c）得,（a）,（b）,两侧杆和中间杆的装配应力分别是,温度应力 例2-6 蒸汽锅炉与原动机见的管道连接的示意图，通过高温蒸汽后，管道温度增加 ，设管道材料的线膨胀系数为 ，弹性模量为 ，试求温度应力。,高,压,蒸,汽,锅,炉,原,动,机,A,B,l,（1）平衡方程 把管道两端A、B简化为固定端，管道的计算简图如b。 （2）变形谐调条件,（a）,（b）,解：,（a）,（b）,（3）物理关系 有虎克定律和热膨胀定律： 代入式（b）得补充方程 由（a）、（c）解得,（c）,于是温度应力为 设管子是刚制的，取 温度变化 ，由（d）得温度应力为,（d）,