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1、第四章 一元函数积分学,一、原函数概念 定义一：设 f(x)是定义在区间D上的函数，若存在函数F(x)对任何xD,都有 F(x)=f(x)(或df(x)=f(x)dx) 则称F(x)为f(x)在区间D上的原函数(简称为f(x)的原函数) 如:已知函数f(x)=sinx 函数F1(x)=-cosx和F2(x)=-cosx+2都是f(x)=sinx的原函数。 (C)=0, F(x)=-cosx+C都是f(x)=sinx的原函数 注：一个函数的原函数若存在，则有无数个。,定理1，若F(x)是f(x)在某区间上的原函数，则F(x)+C(C为任意常数)包含了f(x)的全体原函数。 如：在任一点x处切线斜
2、率为2x的曲线方程是y=x2+c 2、不定积分的定义 定义2，对于某区间D上的函数f(x)，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为 f(x)dx 称它是函数f(x)的不定积分,其中f(x)是被积函数,x是积分变量,是积分符号。 若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分为 f(x)dx=F(x)+C(C称为积分常数),注:(1)积分号表示对函数f(x)实行求原函数的运算,即要找出导函数等于已知函数f(x)的(原)函数F(x)+C (2)x是积分变量,它与用什么字母表示无关,所以 式中将x换成u仍成立,即 f(u)du=F(u)+C (C为积分常数) (3
3、)“求一个已知函数f(x)的全体原函数”可表示为: (4)求一个已知函数f(x)的全体原函数的方法为: 先求一个原函数F(x)即F(x)=f(x) 再由 式即可求出全体原函数.,f(x)dx=F(x)+C,例1、已知曲线y=F(x)在任一点x处的切线斜率为2x，且曲线过(1,2)点，求此曲线方程： 解：由导数的几何意义知： k=F(x)=2x (x2)=2x F(x)=x2是2x的一个原函数。 y=2xdx=x2+c 又曲线过 (1,2)点,把x=1,x=2代入上式得 2=12+C即C=1 所以,所求曲线方程为:y=x2+1,例2 经过调查发现,某产品的边际成本可由下列函数给出2q+3某中,q
4、是产量数,已知生产的固定成本为2,求生产成本函数。 解：设所求生产成本函数为C(q)，由题知： C(q)=2q+3 (q2+3q)=2q+3 F(q)=q2+3q是2q+3的一个原函数 C(q)=(2q+3)dq=q2+3q+c0(c0是积分常数) 由已知生产的固定成本为2,即生产是q=0时,成本是2,代入上式,得 C(0)=02+30+C0=3 得C0=2 所以,生产成本函数为:C(q)=q2+3q+2,二、积分基本公式 1、不定积分与导数(微分)之间的关系： 上式表明，求不定积分与求导(微分)是互逆的运算。,2、导数基本公式 积分基本公式 注：上述积分公式中x可以换成u。,举例：,三、基本
5、积分法 1、不定积分的性质 性质1：两个函数之和(差)的不定积分，等于它们的不定积分之和(差)即 性质2：在求不定积分时，非0常数因子可以提到积分号外面。 即,2、直接积分法：得用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。 举例：书P155157 例1：求下列不定积分。,例2、某商场销售商品的边际收入是64q-q2(万元/千件)某中q是销领带量(千件)，求收入函数及收入最大时的销售量。 解：设收入函数为R(q)，由题知R(q)=64q-q2 得,由q=0,R(q)=0,知，C=0 因此，所求收入函数为 收入最大时的销售量是使 的q值，得q=64(q=0舍去)所以获得最大收入时的
6、销售量为64(千件) 3、凑微分法(第一换元法) 由 应将微分dx凑成 使变量-改为3x，即,由 应将微分dx凑成 ，使变量一致变3x-1， 即 一般地，凑微分法是先将f(x)dx中的f(x)dx凑成微分形式(可统一变量的微分形式),亦即第一换元法。 注：关键是将f(x)凑成f1(u(x) u(x)且f1(u(x)u(x)dx可利用积分基本公式积出。 书P158159 注：关键是将f(x)凑成f1(u(x) u(x)且f1(u(x)u(x)dx)可利用积分基本公式积出. 书P158159,例3:求下列不定积分: 解:(1)用凑微分法及积分基本公式,(2)用凑微分法及积分基本公式 (3)用凑微分
7、法及积分基本公式,(4)凑微分法及积分基本公式 4、分部积分法 (1)分部积分公式 定理4.2设u(x)，v(x)是可微函数，则有 u(x) v(x)dx=u(x)v(x)-u(x) v(x)dx,注:分部积分公式简写为udv=uv-vdu 分部积分关键是: a:被积函数f(x)可以写成u(x)v(x)的特殊乘积形式; b:等式右边的积分u(x)v(x)dx容易计算出结果。 1)若f(x)是幂函数乘以ex或sinx、cosx常选择幂函数为u(x)，把ex、sinx、cosx写成v(x)形式。 2)若f(x) 是幂函数乘以lnx,常选择lnx为u(x)，把幂函数写成v(x)形式。 3)若f(x)
8、是ex乘以sinx、cosx、u(x)、v(x)可以任意选取。,如：求下列不定积分： 解：,移项得：,(2)分部积分的列表法： 列表为:(+)ug 求导 (-)u v(=gdx) 此表的具体运算方法如下: 横向函数相乘再积分; 左列函数依次求导数,右列函数依次求积分; 斜向函数相乘不积分,符号选择依次取正负. ugdx=uv- uvdx 横向 斜向 横向,注:由分部积分列表法的图表结构可知: 右列的函数应是容易积分的(即原函数易求); 左列的函数一般应是求导后逐渐简单的; 左导右积的结果相乘,其积分应是逐步简化,并最终方便求出结果的。 如：求下列不定积分：,解:(1) (+)x e-x (-)
9、1 -e-x (+)0 e-x (+)lnx (-),(3) (+)x2 cosx (-)2x sinx (+)2 -cosx (-)0 -sinx (+)e-x cosx (-)-e-x sinx (+)e-x -cosx,移项得：,四、定积分 1、定义 设f(x)在区间a,b上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，数值F(b)-F(a) 称为f(x)在a,b上的定积分(或称为f(x)从a到b的定积分) 记为： 即N-L公式 其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，数a和b分别称为积分的下限和上限，a,b称为积分区间。,注：在计算 时，选取哪一个原函数是无关紧要的； 变上限定积分，xa,b
10、 是x的函数,还是f(x)的一个原函数 定积分 与积分变量所选取的字母无关,即,规定: 定积分的计算:先由不定积分法找一个原函数,再由N-L公式求出其函数值; 不定积分与定积分的区别:不定积分的结果是函数,而定积分的结果是一个函数值.,2、定积分的性质： 设f(x)、g(x)在a,b上连续，则有 性质1： 性质2： 性质3： 例4：计算下列定积分：,(1) (2) 解:(1),(2) ,3、定积分的换之积分法和分部积分法 (1)换元积分法： 或,定理3 设f(x)在a,b上连续，若 其中f(x)在a,b连续，u(x)在、上单调有连续导数u(x)且当x=a时，u=,x=b时,u=,则作变量替换u
11、(x)=u 可得 该式称为定积分的换元公式。,(2)分部积分法： 定理4：设函数u(x)和v(x)在a,b上连续，则 该公式称为定积分的分部积分公式。 举例： 计算定积分：,解:(1) (+)lnx x2 (-) (2) (+)lnx 1 (-) x,注：不定积分与定积分的关系： 不定积分的结果是全体原函数，而定积分的结果是一个函数值； 在计算定积分时，可以先得用不定积分的方法求出一个原函数，再由N-L公式求出定积分的值。,不定积分的换元积分法，换元后必须还原；而定积分的换元积分法，换元必须换限。在运算熟练后，也可略去换元过程，此时定积分上下限也就不必改变。 如：计算定积分 解：(方法一),(方法二)： 五、广义积分 定义4 设函数f(x)在无限区间a,+上连续,若 极限 存在,则称f(x)在a,+上的无穷限广义积分(简称广义积分)收敛或存在,记作: 并称这个极限值为广义积分的值。,若极限 不存在，则称广义积分 发散或不存在。 类似地， 其中C是(a,b)内的任意实数。,注：无穷积分的求法： 先把它看作普通意义下的积分，利用有限区间上的定积分的计算方法计算，再求其极限求出相应的广义积分。 举例：计算下列广义积分： 书P177练习 或简写为：,作业：习题4打题及书P183.7.9,