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第四节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数,一、泰勒级数,定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数,为f(x)在x0的泰勒级数.,定理1 (泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(xx0)的方幂展开为：,其中：,公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.,定理2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x) 的泰勒公式余项Rn(x)当 时的极限为零，即：,二、函数展开成幂级数,将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：,例2 将函数sinx展成x的幂级数.,间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.,分别令q=x、x2有：,将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：,例3 将函数cosx展开成x的幂级数.,例7 将函数f (x)=ln(1+x)展开成x的幂级数.,解： 因为,且有,