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1、无穷大与无穷小,第四节,第二章,二、 无穷小,四、 无穷小与无穷大的关系,一、 无穷大,第四节,无穷大与无穷小,三、无穷小的运算性质,绝对值无限增大的变量叫无穷大.,一、无穷大,定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大.,精确定义：,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意:,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变 量未必是无穷大.,例如：数列,是无界的，但并不是无穷大,（4）无穷大是相对而言的概念，和极限过程有关。,例如：,（2）,证:,得证.,证,二、无穷小,定义:,例如,注意：,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一
2、的数.,（3）无穷小也是相对而言的，也和自变量 的变化过程有关.,1、在同一极限过程中，两个无穷小的和仍是无穷小。,三、无穷小的运算性质,定理,证略.,推论 在同一极限过程中有限个无穷小的和仍是 无穷小.,注意 无穷多个无穷小的和未必是无穷小.,此定理表明极限的概念可以由无穷小概念来阐述,例,解,先变形再求极限.,3、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.,2、在同一极限过程中，有限个无穷小的乘积仍然是无穷小.,例,例,解,注：无穷大不具有类似的一些性质.,四、无穷大和无穷小的关系,定理,（倒数关系）,此定理表明关于无穷大的讨论都可以归结为无穷小的讨论.,证：,例：,解：,例：,证：,例：,解：,内容小结：,1、 无穷大和无穷小的概念.,2、无穷小的运算性质,在同一极限过程中，两个无穷小的和仍是无穷小； 在同一极限过程中，有限个无穷小的乘积仍然是无穷小； 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.,3、无穷大和无穷小的关系,作业：,预习：两个重要极限.,