概率21ppt课件.ppt

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1、第一节 离散型随机变量及其分布律,随机变量的定义 离散型随机变量及其分布律 常用的离散型随机变量(几种常见分布) 小结,一、随机变量的定义,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.,1. 随机变量概念的产生,1)、有些试验结果本身与数值有关 （本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,四月份哈尔滨的最高温度；,每天进入一号楼的人数；,昆虫的产卵数；,2)、在有些试验中，试验结果看来与数值无关， 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果. 也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,这种对

2、应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.,e.,X(e),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！,随机变量,（定义1）,（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在 试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先 肯定它将取哪个值.,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是 这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也 有一定的概率.,称这种定义在样本空间 U 上的实值单值函数 X = X(e) 为,随,量,机,变,简记为 r.v.,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z 或 等表示,1）有了随机变量, 随机试验中的各种事件， 就可以通过随机变量的关系式表达出来.,如：单位时间内

3、某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫,没有收到呼叫, X 1,X= 0,2. 引入随机变量的意义,解：分析,例 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不 出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数， 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.,当 0.15 X1000 0.1时，报童赔钱,故报童赔钱 X 666,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重 大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律 的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对 随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变

4、量及其 取值规律,2）借助微积分可全面研究随机现象的数量 规律及其联系,我们将研究两类随机变量：,如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,例如，“电视机的寿命”，实际中常 遇到的“测量误差”等.,3. 随机变量的分类,这两种类型的随机变量因为都是随机变量， 自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不 同，又有其各自的特点.,学习时请注意它们各自的特点和描述方法.,二、离散型随机变量及其分布律,1. 离散型随机变量及其分布律的定义,定义2 ：某些随机变量 X 的所有可能取值是有限 多个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型 随机变量 .,其中 (

5、k=1,2, ) 满足：,（2）,定义3 ：设 xk (k=1,2, ) 是离散型随机变量 X 所 取的一切可能值，称,为离散型随机变量 X 的分布律.,用这两条性质 判断是否是 分布律,解: 依据分布律的性质,a0 ,从中解得,即,例,设随机变量 X 的分布律为：,k =0,1,2, ,试确定常数a .,（1）公式法,（2）列表法,2. 离散型随机变量表示方法,（3）矩阵法,设袋中有4个红球，1 个白球. 今从袋中随机抽取 两次，每次取一个. 设 X 表示所取得的白球数，试分 两种情况: (1) 放回抽取； (2) 不放回抽取， 分别求出 X 的分布律.,三、常用的离散型随机变量(几种常见分

6、布),1. （0-1）分布：（也称两点分布）,设随机变量 X 只可能取0与1两个值, 其分布律为,则称 X 服从参数为 p 的 (0-1) 分布或两点分布.,实例 “抛硬币”试验, 观察正、反两面情况 .,随机变量 X 服从 (0-1) 分布,其分布律为,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种 可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、 种籽是否发芽、明天是否下雨等, 都属于两点分布.,说明,设在一次试验E 中我们只考虑两个结果：A 或 .,掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”,抽验产品：“是正品”，“是次品”,这样的试验E 称为伯努利试验 .,2. 伯努利试验和二项分布,“重复”是

7、指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.,将伯努利试验E 独立地重复地进行n次, 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 .,“独立”是指各次试验的结果互不影响 .,n 重伯努利试验特点：,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是 n 重伯努利试验中 事件 A 出现的次数的分布律 .,（2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 ，,（3）各次试验相互独立.,可以简单地说，,且 P(A)=p ， ；,用 X 表示 n 重伯努利试验中事件A发生的次数，则,易证：,（1）,称随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，,XB(n , p),（2）,记作,例 某篮球运动员投中篮圈概率是0.

8、9，求他两次 独立投篮投中次数 X 的概率分布.,解： X 可取值为0,1,2 ;,PX =0=(0.1)(0.1)=0.01,PX =1= 2(0.9)(0.1) =0.18,PX =2=(0.9)(0.9)=0.81,常常表示为：,这就是 X 的分布律.,设某车间有10台同型车床. 如果每台车床的工作 情况是相互独立的，且每台车床平均每小时开动12 分钟. 令X 表示该车间任一时刻处在工作状态的车床 数，试求 X 的分布律.,例 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2 个次品的概率.,解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件

9、完全相同且独立，它是伯努利试验.,依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.,设X为所取的3个中的次品数，,于是，所求概率为：,则,X B(3,0.05)，,若将本例中的“有放回”改为”无放回”, 那么各次 试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解.,请注意：,其中,例 有 N 件产品其中有 M 件次品，即次品率为 现从中抽取 次，每次抽1件，抽后不放回令 表 示抽出的 件中的次品数，则 其分布律为：,3. 超几何分布,例3 设从某厂生产的1000件产品中，随机抽查20 件若该厂产品的次品率为0.2令 表示抽查的20件 中的次品数试求 的分布律,上式计算复杂，

10、一般若 ，不放回抽样可 近似按放回抽样来处理，超几何分布就可用二项分布 来近似，即有：,从而例3可近似地认为：,于是,计算简便，误差较小,在二项分布B(n , p)中，如果,是常数），则成立：,泊松定理,4. 泊松分布,注,二项分布 近似于 泊松分布,设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且分布律为：,其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作,解：以 X 表示20000人中发生过敏反应的人数， 则 X 服从二项分布 B(20000, 0.0001)， 所求的概率为：,某种药品的过敏反应率为0.0001，今有20000人 使用此药品，求20000人中发生过敏反

11、应的人数 不超过 3 的概率。,例,如果利用近似公式,计算，可以得到： ，且,比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。,假定有若干台同型号车床，彼此独立工作每台 车床发生故障的概率都是0.01，设1台车床的故障由1 人维修试就下述两种情况求出当车床发生故障时， 需要等待维修的概率：,解：,设 表示任一时刻发生故障的车床数,（1）若由1人负责维修20台车床； （2）若由3人负责维修80台车床,例4,可以得：,故可近似认为：,所以所求概率为：,（1）由题意得,（2）由题意得,故可近似认为：,所以所求概率为：,启示提倡团队精神、合作精神 管理的规模效应（俱乐部管理模式）,泊松分布的背景及应用,二十世

12、纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.,地震,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,补充

13、：几何分布,在独立重复试验中，事件 A 发生的概率为 p， X 为直到 A 发生为止所进行的试验次数，,称 X 服从几何分布.,例 设某批产品的次品率为 p，对该批产品做有放回 的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此 之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X 是 一个随机变量 , 求 X 的分布律.,则 X 的分布律为,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.,解,例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止， 已知他每发命中的概率是 p，求所需射击发数X 的分布律.,解: 显然，X 可能取的值是1,2, ，,PX=1=P(A1

14、)=p,为计算 PX =k ， k = 1,2, ，,Ak = 第k发命中，k =1, 2, ，,设,于是,可见,这就是求所需射击发数 X 的分布律.,课本 P66，9,例 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿 信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为 红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的分布律.,解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3.,PX=0=P(A1)=1/2,课本 P65，7（类似）,P(Ai)=1/2,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,即,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,随机变量,离散型随机变量,分布律,几类常用的 离散型随机变量,0-1分布,二项分布,泊松分布,小 结,离散型随机变量的分布,两点分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,泊松分布,两点分布,超几何分布,想一想：离散型随机变量的统计特征可以 用分布律描述，非离散型的该如何描述？ 如：熊猫彩电的寿命 X 是一个随机变量， 对消费者来说，你是否在意 X 5年还是X 5年零1分钟,