概率一章ppt课件.ppt

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1、概率论与数理统计,主讲人 蒋金凤,要 求 1. 上课不得迟到，课堂上不能吃东西，手机请关闭. 2. 课前要预习，课上要认真听讲，适当做笔记，课后自己独立完成作业，杜绝抄袭作业。 3. 每周一上午交作业，准备两本作业本。,参 考 书 1.概率论与数理统计教程，峁诗松等编 著，高等教育出版社 2.概率统计习题集，双博士高等数学课题组编写，机械工业出版社 3.概率论与数理统计试题精选题解，廖玉麟，刘凯编，华中科技大学出版社,本学科的起源,概率(或几率) 随机事件出 现的可能性的量度 其起源与博弈问 题有关。,概率论产生于十七世纪中叶，是一门比较古老的数学学科，概率论的产生，却起始于对赌博的研究，当时

2、两个赌徒约定赌若干局，并且谁先赢c局便是赢家，若一个赌徒赢a局(ac)，另一赌徒赢b局(bc)时终止赌博，问应当如何分赌本？他们求教于数学家帕斯卡，帕斯卡同费尔玛讨论这个问题，研究了较复杂的赌博问题， 解决了“ 合理分配赌注问题” ，从而他们共同建立了概率论的第一基本概念数学期望。,我国的概率论研究起步较晚，从1957年开始，先驱者是许宝马录先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一，也是工科，经济类学科学生的公共课，许多高校都成立了统计学（特别是财经类高校）。近年来，我国科学家对概率统计也

3、取得了较大的成果。,概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的 一门数学分支。理论严谨，应用广泛，发展迅速。 概率论与数理统计已广泛应用于自然科学、工程技术、经济和人文学科。如： 预测和滤波应用于空间技术和自动控制； 时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；,本学科的应用,马尔可夫过程与点过程应用于地震预报和气象预报； 数理统计方法应用于工农业生产等等。 在理论联系实际方面，概率论是数学最活跃的分支之一。,概率论的理论和方法向各个基础学科、工程学科的渗透，是近代科学技术发展的特征之一。概率论与其它学科相结合发展成不少边缘学科，如生物统计，统计物理和数学地质等；它又是许多新的重要学科的基础，如信息论

4、，控制论，可靠性理论和人工智能等。,1.深刻理解,牢固掌握基本概念; 2.多做练习,很抓解题基本功.,学习本课程的方法,第一章 事件与概率,第一节 随机事件和样本空间 一、随机现象 两个试验： 试验I：一个盒子中有十个完全相同的白球（大小和形状），搅匀后从中任取一球。 试验II ：一个盒子中有十个相同（大小和形状），其中5个是白色的；5个是黑色的，搅匀后从中任取一球.,1.确定性现象,试验I所代表的类型，在试验之前就能断定它有一个确定的结果，这种类型的试验所对应的现象，称为确定性现象（即必然现象）。,特点：试验前有一个确定的结果.,例如： （1）在标准大气压下，纯水加热到1000C， 必然沸腾

5、； （2）带电物体之间，总是同性相斥异性相 吸； （3）边长为a,宽为b的矩形，其面积必是ab.,2.随机现象,试验II所代表的类型，它有多于一种可能的试验结果，但是在一次试验之前不能肯定试验会出现哪一个结果。就一次试验而言，看不出有什么规律，但是，“大数次”地重复这个试验，试验结果又遵循某些规律，这种规律称之为“统计规律”，这一类试验称之为随机试验。随机试验所代表的现象称为随机现象（或偶然现象）。,例如： （1） 某地区的年降雨量； （2）如投一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，事先不能作出确定的判断； （3）检查流水生产线上的一件产品，是合格品还是不合格品。,特点： 在一定条件下，试验

6、结果不止一个，对于某次试验，试验前无法确定其结果。,二、随机试验,如果一个试验满足下面三个条件： 1.试验可以在相同条件下重复进行; 2.试验的所有可能结果明确可知且不止一个; 3.每次试验总是恰好出现一个可能的结果， 且试验前不能确定何种结果。 这样的试验称为随机试验,简称试验。,三、随机事件,随机试验的每一个可能的结果称为基本事件； 由多个基本事件所组成的事件称为复合事件； 基本事件和复合事件统称为随机事件或事件。 常用大写字母A、B、C等表示事件。,称事件A发生，当且仅当A所包含的一个样本点 （基本事件）出现.,例1、某袋中装有4只白球和2只黑球，我们考虑依次从 中摸出两球所可能出现的事

7、件。如对球进行编号，4只白 球分别编为1，2，3，4;2只黑球编为5，6。如果用(i,j) 表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球, 共有30个基本事件。 现在研究下面的事件： A：第一次摸出黑球；B：第二次摸出黑球； C：第一次及第二次都摸出黑球；D：两球号之和等于7。,注：随机事件的两个极端情况: 10 必然事件：在一定条件下，必定出现的事件 称为必然事件，记为。 例如： =水在00以下一定结冰 是必然事件。 20 不可能事件：在一定条件下，必定不出现的 事件称为不可能事件，记为。 例如：导体通电不发热，是不可能事件。,四、样本空间,随机试验的所有可能结果组成的集合，称为 样本空间，记为=

8、。 其中的元素称为样本点或基本事件。,对于例1，30个结果作为样本点，构成了样本空间 ，事件A、B、C、D都是的一个子集。,例2. 在前述试验II中，令1=取得白球， 2=取得黑球，则,=1 ，2,例3. 投一枚硬币，则,=正，反,例4. 连续投两枚硬币，,=(正，正),(正，反),(反，正),(反，反),A:至少出现一次正面,B:两次都是正面,例5.,(1) 电视机寿命的样本空间为 =t,t0,(2) 一天内进入某商场的顾客数的样本空间,(3) 测量误差的样本空间为=x,- x+,=0,1,2, 104,1. 样本空间中的元素可以是数也可以不是数；,2. 样本空间至少有两个样本点，仅含有两个

9、样本,注意：,3.,4. 每一个事件对应于的一个子集，随机事件可用,样本空间,点的样本空间是最简单的样本空间；,样本空间的一个子集来表示.,样本空间也称为必然事件。 空集 也称为不可能事件。,五、事件间的关系及运算,1 事件的包含（特款） 如果事件A发生必然导致事件B发生，则 称B包含A，或称A是B的特款，记作,A,B,例1. 投一颗骰子试验，A=“出现4点”，B=“出现偶数点”，A发生必然导致B发生，则,2 . 事件的相等,如果有,同时成立，则称事件,A与B相等，记作,例投两枚骰子试验，A“两枚骰子的点数之和为奇数”，B “两枚骰子的点数为一奇一偶”,则有,3.事件的并（和）,A,B,“事件

10、A与B中至少有一个发生”的事件，称为事件A与B的并（或和）,记为 ，即由事件A和事件B的所有样本点构成的集合。,例设某种圆柱形产品，若底面直径和高度都合格，则该产品合格令A直径不合格, B=高度不合格，则,4.事件的交（积）,AB,A,B,AB,“事件A与B同时发生”的事件，称为事件A与B 的交（或积），记作 (或AB).即由A和B的公 共样本点构成的集合。,例投一颗骰子试验，A，B ，则有,5.事件的差,A,B,A,B,“事件A发生而B不发生”的事件，称为事件A与,不包含B的样本点所构成的集合。,， 即由包含A的样本点而,B的差，记作,例投一颗骰子试验，A，B ，则有,6.互不相容（互斥）,

11、A,B,则称A与B互不相容（或互斥）.,互不相容的事件没有公共样本点。,若事件A与B不能同时发生，即,例电视机的寿命T: AT5000h,BT2000h.则有,7.对立事件（逆事件）,A,由不包含A中的所有样本点构成的集合，称为,A的逆事件(或对立事件），记作,(或说A不发生),例7设有件产品，其中件产品为次品，从中任取件产品 记A 件产品中至少有一件次品,则,8. n个事件的并和交,的事件，称作,的并，记作，,的事件，称作,的交，记作,集合论与概率论中关系及运算的对照表 符号 概率论 集合论 样本空间、必然事件 = 事件A 的子集A 不可能事件 空集 事件A发生 事件A不发生 事件A发生导致

12、事件B发生 集合A被集合B包含,符号 概率论 集合论 事件A与B至少发生一个 集合A与集合B的并 AB 事件A与B同时发生 集合A与集合B的交 A-B 事件A发生而B不发生 集合A与集合B的差集 AB= 事件A与B互不相容 集合A与B无公共元素 A的对立事件 集合A 的余集,例. A和B是两个事件,试把 表示成两个互不相容的事件的和。,例.若A、B、C是三个事件，试用A,B,C表示下列事件： (1）A发生而B与C都不发生； (2）A与B发生而C不发生； (3）这三个事件都发生； (4）这三个事件恰好发生一个； (5）这三个事件恰好发生两个； (6）这三个事件至少发生一个； (7) 这三个事件都

13、不发生； (8）这三个事件至多发生一个； (9）不多于两个事件发生； (10) A、B至少发生一个，C不发生； (11) A、B、C不全发生。,(1) 交换律： (2）结合律： 或 (3)分配律：,六、事件的运算法则,运算顺序： 逆交并差，括号优先,(4）德摩跟原则（对偶原则）：,推广到n个事件:,（并的逆等于逆的交）,（交的逆等于逆的并）,定义2.1： 随机事件A发生可能性大小的度量（数 值），称为A发生的概率，记作P(A).,1.2 概率和频率,1. 定义,定义2.2 如果随机事件A在n次反复试验中发生了,为A的频率.,次 , 称,2. 频率的稳定性,当试验的次数n很大时，事件A发生的频率

14、,总是在固定常数P(A) 附近摆动。,用fn(A)作为事件A的概率的一个度量，这样计算的概率称为统计概率。,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰( Buffon )投币,皮尔森( Pearson ) 投币,例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156

15、 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,频 率 的 应 用,第五章指出:当试验次数较大时有,事件发生 的概 率,事件发生 的频 率,根据如下百年统计资料可得

16、世界每年发生大地震的概率,近百年世界重大地震,1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万 1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万 1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万 1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万,“重大”的标准, 震级 7 级左右, 死亡 5000人以上,1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万 1970.01.05 中国云南 7.7 1 万 1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 1978

17、.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万 1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万 2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万 2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万,世界每年发生大地震概率约为14%,3.频率的性质,(1) 非负性：对于任意事件A, 有,(2)规范性：对于必然事件 ，有,则有,频率的其它几个性质：,（3）对有限个两两互不相容事件，频率具有可加性，,（1）不可能事件的频率为零，即,即 若,4.统计概率的性质,5.概率与频率的关系,（1）当试验次数n充分大时，事件A发

18、生的频率与概率应有,(2) P(A)是A本身所固有的，不随试验而变化，,随试验而变化。,1.3 古典概型,1 . 定义 如果随机试验具有下列两种特征： （1） 样本空间的元素（即基本事件）只有有限个，不妨设为n个，并记它们为 （2）每个基本事件出现的可能性是相等的 ，即有,把这种数学模型称为古典概型.,一、 古典概型,样本空间,每个基本事件的概率,对于任何一个随机事件A ,如果A包含有k个基本事件,则,2.计算公式,3. 古典概率的性质,二、基本的组合分析式 1.两个基本原理 （1） 乘法原理 若进行A1过程有n1种方法，进行A2过程 有n2种方法，则进行A1过程后再进行A2 过程共有,（2）

19、加法原理 若进行A1过程有n1种方法，进行A2过 程有n2种方法，假定A1过程与A2过程 是并行的 ，则进行A1过程或进行A2过 程的方法共有,（2）不放回选取 从n个元素中取出r个元素进行排列，其种数为,选排列，也可记为,（3）不全相异元素的全排列,若n个元素中有m类,(4)环状排列,将n个不同元素环绕在一条封闭曲线上的排 列，叫做环状排列，它共有,种排列.,从n个相异元素里，每次取出m个相异元素的 环状排列的种数是,说明：,例1. 用1，2，3，4四个数字可以 排成多少个没有重复数字的三位数。,例2. 某城市的电话号码用七个数字组 成，问最多可以安装多少台不同号码的电 话。,3.组合 （1

20、）从n个不同元素中，每次取出r个元素组成一组，不考虑它们之间的顺序，称为组合，其种数为,（2）n分成k组 若 把n个不同的元素分成k个部分，第一 部分 个，第二部分 个， ， 第k个部分 个，则不同的分法有,(3) n个元素中 有 个带足标“1” 有 个带足标“2” 有 个带足标“k” 且,从这n个元素中取出r个，使得带足标“i”的元素有,个,而,这时不同取法总数为,(4)可重复组合,从n个不同的元素里，每次取出m个元素，元素可以 重复选取，不管怎样的顺序并组成一组，叫做从n 个元素里每次取出m个元素的可重复组合。其组合 种数记为,解法（一）： 把n个不同的元素编号为1，2，n ,再把重复组合

21、的每一组中数从小到大排列，每个数依次加上 0,1,2,m-1,则这一组数就变成了从1,2,n+m-1 共n+m-1个数中，取出m个数的不重复组合中的一组，这种运算构成两者之间的一一对应。,解法二： 取出的m个数中间可设m-1个间壁，当取出的m个数全部相同时，可以看成中间没有间壁，故间壁有 种取法，这时只须取一个数字，有 种取法，可得有利事件的个数为 ；当m个数由两样数构成时，看成间壁数为1，分成左右两段，分别由小大两个数填上，而间壁的位置有 种取法，数字有 种取法，有利事件的个数有 ；,当m个数由三样数构成时，可得有利事件数为 ，。最后，当m个数均为不同数字时，有 m-1个间壁，有 种取法；数

22、字有 种取法，这时有利事件的个数有 所以共有有利事件数为：,例3.100件产品，98件正品，2件次品，任取3件。 （1）取法共有多少种？ （2）恰好有一件次品的取法有多少种？ （3）至多有一件次品的取法有多少种？ （4）至少有一件次品的取法有多少种？,三、概率直接计算的例子,几种典型问题 1.摸球问题 2.抽样问题 3.彩票问题 4.分房问题 5.随机取数问题,例1.p18 ,例1.7 一套五卷的选集，随机地放到书架上去，求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率。 例2.(摸球问题） 袋中有a个黑球，b个白球，从中接连任意取出k个球，且每次取出的球不再放回去，求第k次取出的球

23、是黑球的概率。,解法一：设Ak=第k次摸出的球是黑球,于是得到,设想每只球都是有区别的，将黑球编号为1，,2，a，白球编号为a+1，a+2，a+b，把它们,逐次放到直线上a+b个位置，每一个可能的排列作为,样本点，a+b个球全部可能排列为(a+b)!,Ak的 有利场合：先将黑球放到第k个位置上，有a种 可能，而其余a+b-1个位置则任意放，有(a+b-1)! 种可能,故Ak的有利场合数为:a(a+b-1)!,解法二：每取出k个排列好的球就构成一个基本,Ak有利场合数为,第k次取出的黑球可以从a个球中取出一个，有a种取,种取法。,于是,法，其余k-1个球可以从a+b-1个球种任意取出，有,解法三

24、：,于是得到,把a只黑球看作是没有区别的，把b只白球也看作 是没有区别的，仍把摸出的球依次放在排列成一直 线的a+b个位置上，,样本点总数：,故Ak的有利场合数为:,解法四：,于是得到,考虑第k次摸球情况,样本点总数：,Ak的有利场合数为:,例3.（不放回抽样问题）,一批产品共有N个，其中M个是不合格品，N-M个是合格品。从中随机取出n个，试求事件Am=“取出的n个产品中有m个不合格品”的概率。,例4.（放回抽样问题）,一批产品共有N个，其中M个是不合格品，N-M个是合格品。有放回地从中随机取出n个，试求事件Bm=“取出的n个产品中有m个不合格品”的概率。,例5.（彩票问题） 一种福利彩票称为

25、幸福35选7，即从01，02，03，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码。中各等奖的规则如下，试求各等奖中奖的概率。,幸福35选7的中奖规则,中奖级别,一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖,7个基本号码全中 中6个基本号码及特殊号码 中6个基本号码 中5个基本号码及特殊号码 中5个基本号码 中4个基本号码及特殊号码 中4个基本号码或中3个基本号码及特殊号码,中奖规则,例6.（分房问题） 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间的任一间去住(nN)，求下列事件的概率。 （1）指定的n个房间各有一个人住； （2）恰好有n个房间，其中各住一人； （3）某一指定房间中有m

26、个人住(m n).,例6的“分房问题”可应用于很多类似场合,球,信封,信,钥匙,门锁,女舞伴,生日,人,男舞伴,例7.（生日问题）某班级有n个人（n365）， 问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？,对于不同的n,计算得相应的概率P(A),例8.（随机取数问题） 从1，2，10共十个数字中任取一个，假 定每个数字都以相同的概率被取中，取后还原。 先后取出7个数字，试求下列各事件Ai(i=1,2,3,4) 的概率. A1 =7个数字全不相同 A2 =不含10与1 A3 =10恰好出现两次 A4 =至少出现两次10,练习：在1，2，9这9个数字中， 有放回地随机抽出n个数，求这n个数乘积 能被

27、10整除的概率。,1.4、概率的公理化定义及概率的性质,例1. 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间少于10分钟的概率。,例3. 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。,例2. 如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？,一、几何概率,注意：如果是一维空间度量为长度；二维空间度量为面积；三维空间度量为体积。,1、几何概率定义,例1.（约会问题）甲、乙两人约定在7点到8 点在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过

28、时即离去，求两人能会面的概率。,解：以x , y分别表示甲乙两人到达的时刻，,在平面上建立直角坐标系，则,A=两个人能会面,所求概率为,例2.（蒲丰(Buffon)投针问题）平面上画有等距离为a(a0)的平行线，向平面任意投掷一枚长为l(la)的针.试求针与平行线相交的概率P。,解: 设x表示针投在平面上时中点M与最近一条 平行线的距离 , 表示针与最近一条平行线的夹角.,针与平行线相交的充要条件是,由这个不等式表示的区域A是图中的阴影部分，,由等可能性知,随机地向区间 ( 0 , 1 投掷一个质点，,令事件 A 为该质点落入区间,事件 Ak 为该质点落入区间,A,例3,(1)非负性：P(A)

29、0;,则,2.几何概率的基本性质,(3)可列可加性（完全可加性）：,(2)规范性：P()=1;,定义1、若是一个样本空间， F 是由 的某些子集所组成的集合类，如果F满足条件：,二、事件域,则称F为布尔代数。,1.定义,定义2.如果 F 满足,则称F 为-代数(-域) ，也称F 为事件域，记作,（，F）称为具有-代数结构的样本空间，或简称为可测空间，特别对有限样本空间，则称为有限可测空间。,三、概率的公理化定义及性质,(1)非负性：P(A) 0;,(3)可列可加性（完全可加性）:,(2)规范性：P()=1;,定义： 设（，F）是可测空间，对每一集 有一实数与之对应，记为P(A). 如果它满足下

30、面三个条件：,1. 概率的定义,则称实数集函数P为（ ，F ）上的概率。P(A)为事件A的概率.,(1)样本空间 ; (2)事件域（ 代数）F; (3)概率（F上的规范测度）P 习惯上把这三者写成 ，并称作是 一个概率空间。,2. 概率空间,3. 概率的其它性质,(2) 有限可加性：即若,（3）对任意随机事件A ,有,例1.36只灯泡中4只是60W，其余都是40W的，现从中任取3只，求至少取到一只60W灯泡的概率。,例2. 抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率。,(4)（概率的单调性）,系1:,系2: 对于任意两个事件A、B，有,若,对于任意两个事件A、B，有,4、概率的加法公式,对于

31、任意三个事件A、B、C，有,这个公式也称为概率的一般加法公式,推论（半可加性）对于任意两个事件A、B有,例6.（匹配问题）在一个n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同。晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，问至少有一个人自己抽到自己礼物的概率是多少？,则称概率P 是上连续的.,5.概率的连续性,定义(概率函数连续性),对F上 的 一个概率P,则称概率P是下连续的.,性质（概率连续性）,若P 为事件域F 上的概率，则P既是下连续的，又是上连续的.,定理.若P是F上非负的、规范的集函数，则P具有可列可加性的充要条件是 （1）P是有限可加的； （2）P在F上是下

32、连续的。,1.5 条件概率、全概率公式 和贝叶斯公式,一、条件概率,例1.考察有两个小孩的家庭，假定男女出生率一样，讨论下列事件的概率： (1)事件A=“家庭中至少有一个女孩”发生的概率； (2)若在已知事件B=“家庭中至少有一个男孩”发生条件下 ，求A发生的概率。,、,定义 1、若（,F,P）是一个概率空间 , BF,且P(B)0, 则对任意的事件AF,称,为在已知事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。,1、条件概率的定义,AF,且P(A)0, 则对任意的事件BF,称,为在已知事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。,例2. 设100件某一产品中有5件不合格品， 而5件不合格品中又有3

33、件是废品。现在100件产品中任取一件，求 (1)抽得的是次品的概率； (2)已知抽得的是不合格品，它是次品的概率。,练习： 任意抛掷两枚质地均匀的硬币，令A表示“第一次出现正面”,B表示”第二次出现正面”.,容的事件 Ai(i=1,2, )有,2.条件概率的性质,(1)非负性：对于任意的AF,P(AB) 0.,(2)规范性： P(B) =1,(3)可列可加性：对于任意的一列两两互不相,3.其它性质：,定理1（乘法定理） 若对于任意两个事件A、B，都有 P(A)0 , P(B)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B),二、概率的乘法公式,乘法公式,定理2.设A1 , A

34、2, , An 为任意n个事件， n 2,且,则有,例3.(抽签问题)有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人抓到票的概率是多少？（i=1，2，7）(用乘法公式),例4.某人忘记了电话号码的最后一个数 字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三 次而接通电话的概率。若已知最后一个数字 是奇数，那么此概率又是多少？（用乘法公 式）,例5.有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个。其中第一个盒子中7个标有字母A， 3个标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次

35、取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球。如果第二次取出的球是红球，则称试验成功。求试验成功的概率。,定理2(全概率公式),三、全概率公式,例6.（p38）某工厂有四条生产线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，又这四条流水线的不合格品率为5%，4%，3%，及2%，现在从出厂的产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？,例7.设1000件产品中有200件是不合格品，依次作不放回抽取二件产品，求第二次取到的是不合格品的概率。(用全概率公式）,练习：乒乓球盒中有12个球，其中8 个是没有用过的新球。第一次比赛时从中 任取3个使用，用后仍放回盒中。

36、第二次 比赛时再从中任取3个，求这3个球都是新 球的概率。,例8.在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列所组成，设发报台分别以概率0.6与0.4发出信号0和1，由于通讯系统受到随机干扰，当发出信号0时，收报台未必收到信号0，而分别以概率0.8与0.2收到信号0和1；同理，当发出信号1时，收报台分别以概率.9与0.1收到信号1和0，求,（1）收报台收到信号0的概率； （2）当收报台 收到信号0时，发报台确是发出信号0的概率。,定理3、（贝叶斯公式）若B1 , B2, Bn, 为一列两两互不相容的事件，且,则对任一事件A，有,四、贝叶斯(Bayes)公式,上式称为贝叶斯(Bayes)公式,称

37、,为后验概率，它是,在试验得到结果 “A发生”后求得的关于Bi 的概率.,称P( Bi )为先验概率，它是由以往的经验 得到的，它是事件 A 的原因.,例9.用甲胎蛋白法普查肝癌，令 C=被检验者患肝癌 A=甲胎蛋白检验结果为阳性 则,被检验者未患肝癌,甲胎蛋白检验结果为阴性,由过去的资料已知,又已知某地居民的肝癌发病率为P（C）=0.0004.在普查中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性的人，求这批人中真的患肝癌的概率,例10.伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩 每天到山上放羊，山里有狼出没。第一天，他 在山上喊：“狼来了，狼来了！”，山下的村民 闻声便去打狼，可到山上，发现狼没有来；第 二天仍是

38、如此；第三天，狼真的来了，可无论 小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两次 说了谎，人们不再相信他了。,1.6 独立性,引例.设一盒中有五个球(二白三黑),每次从中取一球,有放回地取两次,记 A=第一次取得黑球,B=第二次取得黑球. 求： P(A),P(B),P(B|A).,一、事件的独立性,1.两个事件的独立性,定义1. 对于任意的两个事件A、B，若成立 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A、B是相互独立的，简称为独立。,定理1.,(2),(1),定理2. 若事件A与B独立，则下列各 事件也相互独立,例1. 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8。求在一

39、次射击中，目标被击中的概率。,例2. 分别掷两枚均匀的硬币，令,A=硬币甲出现正面 B=硬币乙出现正面 验证A、B是相互独立的。,例3. 一个家庭中有若干个小孩，假定生男生女是等可能的,令A=一个家庭中有男孩，又有女孩 B=一个家庭中最多有一个女孩,对下述两种情形，讨论A与B的独立性,（1）家庭中有两个小孩,（2）家庭中有三个小孩,定义2.,2. 多个事件的独立性,定义3. 对于事件A、B、C，若下列四 个等式同时成立，则称它们相互独立.,注：,A、B、C两两独立；（例5）,30 .两两独立没有传递性。（例6）,例4. 一个均匀的正四面体，其第一面染 成红色，第二面染成白色，第三面染成黑 色，

40、第四面同时染成红、白、黑三种颜色， 现在我们以A、B、C分别记投一次四面体出现 红、白、黑颜色的事件。 （验证：注10）,例5. 若有一个均匀正八面体，其第1，2，3，4面染成红色，1，2，3，5面染成白色，1，6，7，8面染成黑色，现在以A、B、C分别表示投一次八面体出现红、白、黑事件。 （验证注20）,例6. 一个家庭有两个孩子 =（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） A=老大为男），B=一男一女， C=老大为女 （验证注30）,定义4.设A1, A2, An是n个事 件，若对所有的组合1ijk n成 立着 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(

41、Aj)P(Ak) P(A1A2An)=P(A1)P(A2 )P(An) 则称A1, A2, An相互独立。,定理3. 设n个事件A1， A2 ，An相 互独立，那么把其中任意m(1m n)个事 件相应换成它们的对立事件，则所得n个事 件仍然相互独立。,二、独立性的性质,特别地，若A1, A2, An相互独立，则,若A1, A2, An相互独立，则,因此有,三、独立性的应用,1.相互独立事件至少发生其一的概率计算,例7. 假若每个人血清中含有肝炎病 毒的概率为.，混合个人的 血清求此血清中含有肝炎病毒的概率.,例. 张、王、赵三同学各自独立 地去解一道数学题，他们解出题的概率为 1/5，1/3，

42、1/4，试求 （1）恰有一人解出的概率； （2）难题被解出的概率。,2.在可靠性理论中的应用,所谓元件或系统的可靠度，通常是指在某一 时间区间内元件或系统无故障（正常工作）的概率。,例9. 如果构成系统的每个元件的可靠度均为r，0r1，且各元件能否正常工作是相互独立的，用2n个元件构成一个系统.试求下面两种系统的可靠度 ： 第一种:先串联后并联； 第一种:先并联后串联。,图1,图2,1.7 贝努里概型,（一） 贝努里概型 1. 贝努里试验 事件域取为F=，A, ,并称出现A为“成功” ，出现 为“失败”这种只有两种可能结果的试验称为贝努里试验。 P(A)=p, P( )=q 显然有p0,p+q

43、=1,重复进行n次独立的贝努里试验,在每次 试验中事件A、事件 的概率保持不变,这 种试验称为n重贝努里试验，记作En.,2. n重贝努里试验,若只进行一次贝努里试验，则或是事件 A出现，或是事件 出现，记概率,（二） 贝努里概型中一些常见的分布,其中0 p1,p+q=1，概率(1)称为贝努里分布。,(1),1.贝努里分布,例1.投一枚均匀硬币就是这种分布的典型代表.,n重贝努里试验中事件A出现k次的概率称为二项分布，记为Pn(k)或b(k;n,p)，,其中p为事件A在每次试验中出现的概率,p+q=1.,2. 二项分布,（2）,在n重贝努里试验中，通常要求下列事件的概率： （1）事件A发生的次

44、数小于k次；（k) （3）事件A发生的次数至少为k次； (k) （4）事件A发生的次数至多为k次；（k),例2. 在本章古典概型中，N件产品中有M件次品，有放回取n件，问有k件次品的概率。,例3. 投n次均匀的硬币，恰好出现k次正面的概率为,例4.(p50,例1.24) 金车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的，现因当地电力供紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床。问这10台机床能够正常工作的概率为多大？,例5.(p51,例1.25),例6. 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且

45、各周开奖是相互独立的。若你每周买一张彩票，尽管你坚持十年（每年52周）之久，你从未中奖的可能性是多少？,3.几何分布 在重复进行独立的贝努里试验时，事件“首次成功恰好出现在第k次试验”的概率称为几何分布，记为,k=1,2, （5),g(k;p)为几何级数的一般项，因此(5)式称为几何分布。,或,例7. 某人有一串m把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，有一天他随机选取一把钥匙开门，即在每次开时每一把钥匙都以概率1/m被使用。这人在第k次才把门打开的概率是多少？,4. 帕斯卡分布 相继的贝努里试验中，事件“第r次成功发生在第k次试验”的概率称为帕斯卡分布，记为f(k;r,p). 设Ck =第

46、r次成功发生在第k次试验 ,即,k=r,r+1, (6),例5. 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r(0rn)根火柴的概率。,成功之前”或“第n次成功发生在第2n-r次试验”，为,解：数学家用完一盒时，另一盒还有r,(r可能为0,1,n)根火柴。设从第一盒中选取为,“成功”，“当第一盒中火柴用完时，第二盒中还有r,根火柴”这件事，等价于“恰有n-r次失败发生在第n次,帕巴斯卡分布,小结：,二、1古典概型及几个典型问题 (1) .摸球问题； (2). 抽样问题 ； (3).彩票问题； (4).分房问题（生日问题）; (

47、3).随机取数问题.,一、1.随机现象、随机试验,2.随机事件A、样本空间,3.事件间的关系及运算、运算法则,2. 统计概率 概率与频率的关系,三、概率的公理化定义及性质 事件域F; 可测空间(,F) ； 概率空间(,F,P); 概率的性质,3. 几何概型及几个典型问题 约会问题；投针问题（蒲丰问题）,1.条件概率,四、条件概率,2.乘法公式,3.全概率公式,4.贝叶斯公式,五、独立性,1. 事件的独立性,2. 试验的独立性,(1).贝努里分布,3、几个常见的分布,(2).二项式分布,(3).几何分布,(4).帕斯卡分布,(4)可重复组合,从n个不同的元素里，每次取出m个元素，元素可以 重复选取，不管怎样的顺序并组成一组，叫做从n 个元素里每次取出m个元素的可重复组合。其组合 种数记为,解法（一）： 把n个不同的元素编号为1，2，n ,再把重复组合的每一组中数从小到大排列，每个数依次加上 0,1,2,m-1,则这一组数就变成了从1,2,n+m-1 共n+m-1个数中，取出m个数的不重复组合中的一组，这种运算构