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1、2019/7/15,1,概率论第3讲,第三章 随机事件的概率,本文件可从网址 http:/ 上下载,2019/7/15,2,随机事件虽然有偶然性的一面, 即它在一次试验中, 可能发生, 也可能不发生; 但是在大量重复试验中, 人们还是可以发现它是有内在规律性的, 即它出现的可能性的大小是可以“度量“的. 随机事件的概率就是用来计量随机事件出现的可能性大小的一个数字, 它是概率论中最基本的概念之一.,2019/7/15,3,第一节 古典概型 概率的古典定义,2019/7/15,4,讨论一类简单的随机试验, 其特征是: (1) 可能的试验结果的个数是有限的. 把这些试验结果记作e1,e2,.,en
2、, 其全体记作U=e1,e2,.,en; (2) 两两互斥的诸基本事件e1,e2,.,en出现的可能性相等. 这时, 称所讨论的问题是古典概型的.,2019/7/15,5,例如, 在一个口袋中含有编号依次为1,2,.,n的n个球, 从这袋中任取一球, 以 ei表示试验结果“取得号数为i的球“ (i=1,2,.,n), 则U=e1,e2,.,en. 这里, 由于取球是任意的, 所以两两互斥的基本事件ei(i=1,2,.,n)出现的可能性相等. 因此, 这问题属于古典概型.,2019/7/15,6,对于古典概型的情形, 设所有可能的试验结果的全体为U=e1,e2,.,en, 事件,其中k1,k2,
3、.,kr为1,2,.,n中指定的r个不同的数, 则定义事件A的概率为,概率的这种定义, 称为概率的古典定义,2019/7/15,7,例1 从一批由90件正品, 3件次品组成的产品中, 任取一件产品, 求取得正品的概率.,2019/7/15,8,解 设想把这些产品进行编号. 比如, 把90件正品编为1#,2#,.,90#, 把3件次品依次编成91#,92#,93#. 则所有可能的试验结果的全体为U=1,2,.,93, 其中i表示“取得编号为i的一件产品“(i=1,2,.,93), 是两两互斥的, 出现的可能性相等. 取得正品就是事件A=1,2,.,90出现, 所以取得正品的概率为,2019/7/
4、15,9,例2 从例1的这批产品中, 接连抽取两件产品, 第一次抽出后的产品并不放回去, 求第一次取得次品且第二次取得正品的概率.,2019/7/15,10,解 设想将这些产品按例1的办法编号, 抽到的结果可用一对有序数组(i,j)表示, i,j表示第一,第二次取得的产品的号数. 所有试验结果可由所有这种数组的全体表示, 共有9392种. 事件A表示“第一次取得次品且第二次取得正品“, 可由i取91到93且j取1到90的数组表示, 共有390种. 因此,2019/7/15,11,为了计算各种复杂事件的概率, 同时为了揭露概率的本质, 在古典概型的情形下, 证明如下定理. 定理 两个互斥事件A与
5、B的和事件的概率, 等于事件A与事件B的概率之和, 即 P(A+B)=P(A)+P(B),2019/7/15,12,证 设U=e1,e2,.,en,因此,按互斥性, A与B没有共同元素, 所以,从而,2019/7/15,13,例3 对于例2中的试验, 求“取得两件产品为一件正品, 一件次品“的概率.,2019/7/15,14,解 设事件A为“取得两件产品为一件正品, 一件次品“; 事件A1为“第一次取得正品, 而且第二次取得次品, 事件A2为“第一次取得次品且第二次取得正品“. 则A1,A2互斥, 且A=A1+A2. 因此,2019/7/15,15,例4 从0,1,2,3这四个数字中任取三个进
6、行排列. 求“取得的三个数是三位数且是偶数“的概率.,2019/7/15,16,解 事件A表示“排成的数是三位数且是偶数“; 事件A0表示“排成的数是末位为0的三位数“; 事件A2表示“排成的数是末位为2的三位数“. 由于三位数的首位数不能为零, 所以,显然, A0, A2互斥. 由上述定理得,2019/7/15,17,第二节 几何概率,2019/7/15,18,对于试验的可能结果有无穷多个的情形,概率的古典定义显然是不适用了. 为了克服这个局限性, 我们仍以等可能性为基础把这个定义作必要的推广, 使得推广后的定义能适用于有无穷多个不同试验结果且各个基本事件具有等可能性的情形.,2019/7/
7、15,19,例如, 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间0,3)上的诸数字, 旋转这陀螺. 要合理地规定“陀螺停下时其圆周与桌,率, 由于陀螺及刻度的均匀性, 它停下时其圆周上各点与桌面接触的可能性相等, 即接触点的刻度位于在0,3)内的一个区间上的可能性与这区间的长度成比例.,2019/7/15,20,于是, 所要的概率可规定为,2019/7/15,21,又如, 设一个粒子位于容积为V的容器内各点处的可能性相等, 即位于容器内的任何部分的可能性与这部分的容积成比例. 于是, 这粒子位于这容器内体积为v的一个部分区域D内的概率可规定为,2019/7/15,22,以上两个例子中, 都以等可能性为
8、基础, 借助于几何上的度量(长度,面积,体积或容积等)来合理地规定概率, 用这种方法规定的概率称为几何概率.,2019/7/15,23,例5 甲,乙两人相约在0到T这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间t(tT)后离去. 设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的, 且两人到达的时刻互不牵连. 求甲,乙两人能会面的概率.,2019/7/15,24,解 以x,y分别表示甲乙两人到达的时刻, 那末 0xT, 0yT. 若以x,y表示平面上点的坐标, 则所有基本事件可以用一正方形内所有点表示, 两人能会面的条件是 |x-y|t,y,2019/7/15,25,所以所求概
9、率为,2019/7/15,26,第三节 随机事件的频率 概率的统计定义,2019/7/15,27,设随机事件A在n次试验中出现了r次, 则称比值r/n为这n次试验中事件A出现的频率, 记作W(A), 即,显然, 任何随机事件在n次试验中出现的频率总是介于0与1之间的一个数: 0W(A)1 必然事件出现的频率总等于1, 不可能事件出现的频率总等于0.,2019/7/15,28,下表是抛掷钱币的试验结果, n表示抛掷的次数, r为徽花向上的次数, W=r/n表示徽花向上的频率,2019/7/15,29,经验表明, 只要试验是在相同条件下进行的, 则随机事件出现的频率逐渐稳定于某个常数p, 这个数字
10、p是事件本身的一种属性. 这种属性是可以对事件出现的可能性大小进行度量的客观基础. 因此, 在一般情形下, 引进下面的概率定义.,2019/7/15,30,如果随着试验次数的增大, 事件A出现的频率r/n在区间0,1上的某个数字p附近摆动, 则定义事件A的概率为 P(A)=p. 概率的这种定义, 称为概率的统计定义.,2019/7/15,31,由概率的统计定义可以得到概率的下列性质. (1) 对任一事件A, 有 0P(A)1. (2) P(U)=1, P()=0. (3) 对于两两互斥的有限个随机事件A1,A2,.,An有 P(A1+A2+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An).,
11、2019/7/15,32,第四节 概率的公理化体系,2019/7/15,33,公理1 对于任一随机事件A, 有 0P(A)1. 公理2 P(U)=1, P()=0. 公理3 对于两两互斥的可数多个随机事件A1,A2,., 有 P(A1+A2+.)=P(A1)+P(A2)+ 定义 设函数P(A)的定义域为所有随机事件组成的集合, 且满足公理1,2,3, 则称函数P(A)为事件A的概率.,2019/7/15,34,性质1 设有限多个事件A1,A2,.,An两两互斥, 则 P(A1+A2+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An) 证 在公理3中, 令An+1=An+2=.=, 由P()=0
12、得 P(A1+A2+.+An)=P(A1+A2+.+An+An+1+.) =P(A1)+P(A2)+.+P(An)+0+. =P(A1)+P(A2)+.+P(An) 习惯上, 统称定理3及性质1为加法定理.,2019/7/15,35,性质2 设A为任一事件, 则 P(A )=1-P(A) 证 由于A与A互斥, 由性质1得 P(A +A)=P( A )+P(A ) 但 A +A =U, P(U)=1, 所以 P( A )+P(A ) =1 即 P(A )=1-P(A),2019/7/15,36,性质3 如果AB, 则 P(B-A)=P(B)-P(A). 证 当AB时, A(B-A)=, 所以 B
13、=A+(B-A). 由性质1得 P(B)=P(A)+P(B-A) 即 P(B-A)=P(B)-P(A). 因为P(B-A)0, 所以由性质3立即推得 当AB时, P(A)P(B),2019/7/15,37,性质4 设A,B为任意两个随机事件, 则 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),B,A,2019/7/15,38,证 先把AB表达成两个互斥事件A及(B-AB)的和(见上图), 即 AB=A+(B-AB) 由性质1得 P(AB)=P(A)+P(B-AB). 而ABB, 由性质3得 P(B-AB)=P(B)-P(AB) 从而 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),2019/7/15
14、,39,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 习惯上, 称性质4为广义加法定理. 由于P(AB)0, 所以由性质4得 P(AB)P(A)+P(B),2019/7/15,40,例6 设事件A,B的概率分别为1/3和1/2, 求在下列三种情况下P(BA)的值. (1) A与B互斥; (2) AB; (3) P(AB)=1/8,2019/7/15,41,解 (1)由于A与B互斥, B A, 所以 BA=B. 即得,2019/7/15,42,(2) 当AB时,2019/7/15,43,(3) 因为 AB = A + BA, 而,上两式左边相等, 即得,2019/7/15,44,作业: 从第29页开始 第1,2,3,5题,