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1、2019/7/15,1,概率论第6讲,第五章 一维随机变量,本文件可从网址 http:/ 上下载,2019/7/15,2,第一节 一维随机变量及其分布函数,2019/7/15,3,每一随机试验, 试验结果的集合多种多样, 通常喜欢用计算机表示试验结果, 则将每一试验结果用一数来表示, 或者说建立起基本空间的每一个元素到实数的映射, 这种代表试验结果的数, 被称为随机变量. 有的基本空间本来就是实数轴, 因此试验结果本身就是随机变量.,2019/7/15,4,例1 设一口袋中有依次标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球. 从这口袋中任取一个球, 取得的球上标有的数字x是随着试验结果的不同而变化
2、的. 当试验结果确定后, x的值也就相应地确定.,2019/7/15,5,例2 从一批电灯泡中任取一个. 取得的电灯泡在指定条件下的耐用时间h是随着试验结果的不同而变化的. 当试验结果确定后, h的值也就相应地确定.,2019/7/15,6,例3 从一批次品率为p的产品中逐件地抽取产品, 每次抽取经检定后立即放回这批产品中再抽下一件, 直到抽得次品为止. 这样所需的抽取次数z 是随着试验结果的不同而变化的. 当试验结果确定后, z 的值也就相应地确定.,2019/7/15,7,例4 考察“掷五分硬币“试验, 它有两个可能结果:“出现国徽朝上“或“出现伍分字样朝上“. 为了便于研究起见, 将每一
3、个结果用一个实数来代表. 例如, 可用“1“代表“出现国徽朝上“, 用数“0“代表“出现伍分字样朝上“. 这样, 当讨论试验结果时, 就可以简单地说成结果是数1或数0.建立这种数量化的关系, 实际上相当于引入了一个变量m, 对于试验的两个结果, m值分别规定为1和0. 当试验确定后, m的值也就相应地确定.,2019/7/15,8,例5 用步枪对准靶子上的一个点目标进行射击. 考虑击中的点与点目标的距离d. 可以在包含靶子的平面内以一个与这点目标为原点的直角坐标系. 这样, 试验结果可以用击中的点的坐标x, y来表示, 所考虑的d是根据试验结果而定取什么值的, 具体地,2019/7/15,9,
4、例1-5中遇到的x,h,z,m,d都是随机变量. 以后用小写希腊字母表示随机变量.,2019/7/15,10,设x是一个随机变量. 对于实轴上任意一个集S, xS代表了一个随机事件, 意即基本空间U内所有能使x(e)S的e所组成的集代表一个随机事件. S确定后, PxS随之唯一地确定. 由这个对应关系定出, 以实轴上的集S为自变量, 函数值在区间0,1上的函数PxS, 称为随机变量x的分布. 它表明了x的取值规律.,2019/7/15,11,例如, 例1中的随机变量x的分布可如下得出: 由于取得这六个球中的任一个的概率都为1/6, 所以,对于数轴上的集合S, PxS可以如下算得: 检查S含有-
5、1,2,3中的哪几个, 把相应的概率1/6, 1/2, 1/3中的有关几个相加.,2019/7/15,12,例如, 当S=-1,2.5)时, S中含-1,2,3中的-1,2, 所以,x,-1,0,1,2,3,1/6,1/2,1/3,2019/7/15,13,这种S给定后PxS随之确定的规律就是x的取值规律, 即x的分布. 通常用下面规定的分布函数来表达分布. 设x为一个随机变量. 令 F(x)=Pxx, (-x). 这样规定的函数F(x)的定义域为整个数轴, 函数值在区间0,1上. 称这个函数为x的分布的分布函数, 简称为x的分布函数.,2019/7/15,14,例6 求例1中的随机变量x的分
6、布函数. 解 x可能取的值为-1,2,3. 取这些值的概率依次为1/6,1/2,1/3. 当x-1时, xx是不可能事件, 所以F(x)=0. 当-1x2时, xx包含x=-1,所以,当2x3时, xx包含x=-1或x=2,所以,当3x时, xx是必然事件, 所以F(x)=1,2019/7/15,15,总括起来, F(x)的表达式为,1/6,2/3,1,F(x),-1,O,1,2,3,x,2019/7/15,16,例7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间0,1)上的诸值. 旋转这陀螺, 求它停下时其圆周上触及桌面的点的刻度x的分布函数.,0,0.5,0.25,0.75,2019/7/15,1
7、7,解 按陀螺的均匀性及刻度的均匀性, 对于区间0,1)内的任一个区间a,b), 有,对于数轴上任一个区间S, 由于x取区间0,1)外的值的概率为零, 所以 PS=l(S), 其中l(S)为(S0,1)的长度值. 下面来计算x的分布函数.,2019/7/15,18,当x0时, (,x)0,1)为空集, 所以 F(x)=Pxx=0. 当0x1时, (,x)0,1)=0,x), 所以 F(x)=Pxx=x. 当1x时, (,x)0,1)=0,1), 所以 F(x)=Pxx=1. 即所求分布函数为,2019/7/15,19,分布函数的图形为,2019/7/15,20,按分布函数的定义可知 Paxb=
8、Pxb-Pxa=F(b)-F(a), 即事件xa,b)的概率等于分布函数在该区间上的增量. 分布函数具有以下性质: (1) 0F(x)1, (-x+). (2) F(x1)F(x2), (x1x2) 即任一分布函数都是单调非减的.,即任一分布函数处处左连续,2019/7/15,21,第二节 离散型随机变量,2019/7/15,22,从例1及例3可以看到,有一类随机变量,它所有可能取的值是有限个或可数多个数值,这样的随机变量称为离散型随机变量, 它的分布称为离散型分布.,2019/7/15,23,除了可用随机变量的分布及分布函数表明随机变量的取值规律外, 通常还可用下面规定的分布密度来表达离散型
9、随机变量的取值规律.,2019/7/15,24,设x为一个离散型随机变量, 它所有可能取的值为a1,a2,., 事件x=ai的概率为pi,(i=1,2,.), 那末, 可以用下列表格来表达x取值的规律:,其中0pi1,(i=1,2,.)且,称这个表格所表示的函数为离散型随机变量x的分布密度. 或称分布律或概率函数,2019/7/15,25,例8 求出例3中的随机变量z的分布密度. 解 z可能取的值为1,2,3,.即所有的自然数. z=1即第一次就取得次品, Pz=1=p . z=2即第一次取得正品,第二次取得次品,所以 Pz=2=(1-p)p . . z=i即第1,2,.,i-1次都取得正品,
10、第i次取得次品, 所以 Pz=i=(1-p)i-1p, (i=1,2,.).,2019/7/15,26,z的分布密度为,2019/7/15,27,下面介绍几个特殊的离散型分布。 如果x的分布密度为,则称x的分布为退化分布. 一个退化分布依赖于一个常数a.,2019/7/15,28,如果x的分布密度为,则称x为两点分布. 当其中的a,b依次为0,1时, 称这种分布为零-壹分布. 一个零-壹分布依赖于一个在(0,1)内的常数p,2019/7/15,29,如果x的分布密度为,其中aiaj, (ij), 则称x的分布为离散均匀分布. 一个离散均匀分布依赖于一个自然数n及n个不同的常数a1,a2,.,a
11、n.,2019/7/15,30,第三节 二项分布 泊松(Poisson)分布,2019/7/15,31,设在某个指定的试验中, 一个指定的事件A出现的概率为p(0p1). 重复独立地做这试验n次, 这n次试验中, A出现的次数x是一个随机变量. 按第四章第五节, x可能取的值为0,1,2,.,n, 而,2019/7/15,32,因此, x的分布密度为,这个离散分布称为二项分布. 它依赖于自然数n及介于0,1之间的数p, 以后把这个分布简记为B (n,p),2019/7/15,33,在次品率为p的一大批产品中任取n件产品, 那末取得次品的件数x服从B (n,p). 只要把每取一件产品做为一次试验
12、, 令A为取得次品的事件, 利用上面的结论便可推得这个结果. 这里, 注意到, 由于这批产品中产品的件中很多, 取去少许几件可以认为并不影响留下部分的次品率.,2019/7/15,34,下面来引出另一个重要的离散型分布. 设有N个质点, 每一个质点落在容积为V的媒质内, 容积为v的区域中的概率为,每个质点所处的位置与其余质点所处的位置相互独立. 从这容积为V的媒质内任取容积为v的部分时, 取到部分中含有的质点数是一个随机变量x, 下面来计算x的分布密度.,2019/7/15,35,试验示意图:,V,v,2019/7/15,36,把每一个质点所落的位置看作一个试验结果, 这个质点落在所取的部分内
13、为指定事件A发生. 现在的N就是重复独立试验的试验次数n, v/V就是每次试验中A发生的概率p, 从而x服从二项分布 B (N,v/V), 即x的分布密度为,2019/7/15,37,实际上, 往往是v/V近于0, N很大. 下面计算这种情形下, x取各个值的概率的近似值,2019/7/15,38,对于固定的i, 当N,但,(l为一固定的数)时, 有,所以,2019/7/15,39,因此, 当N很大,近于0时, 有,其中,2019/7/15,40,从而看到:当n很大, p接近于零时, B(n,p)的分布密度近似于下列函数,其中l=np. 以这个函数为分布密度的离散型分布称为泊松分布, 其中l为一个正的常数. 泊松分布依赖于一个正的常数l. 以后把参数为l的泊松分布记作P (l),2019/7/15,41,作业, 第63页开始 第2,4,5题.,