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1、1,概率论与数理统计 第14讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,3.3 条件期望,3,例 两封信随机投向1,2,3,4四个信箱, X1,X2代表头两个信箱里的信数目, 求在第2个邮箱里有一封信条件下第一个邮箱内信数的平均数.,4,解 因已经计算出,5,对于二元离散型随机变量(X,Y), 在X取某一个定值, 比如X=xi的条件下, 求Y的数学期望, 称此期望为给定X=xi时Y的条件期望, 记作E(Y|X=xi), 有,6,对于二元连续型随机变量, 定义,其中f(y|x)及f(x|y)分别是在X=x条件下关于Y的条件概率密度和在Y=y条件下关于X的条件概率密度. 当然这个定义假定各式都是
2、有意义的.,7,方差,8,例 设甲,乙两炮射击弹着点与目标的距离分别为X1,X2(为简便起见, 假定它们只取离散值), 并有如下分布律.,9,则两炮有相同的期望值(EXi=90,i=1,2), 但比较两组数据可知乙炮较甲炮准确.弹着点集中.,10,图示比较:,90,95,85,80,100,11,有两批钢筋, 每批各10根, 它们的抗拉强度指标如下:,第一批: 110, 120, 120, 125, 125, 125, 130, 130, 135, 140 第二批: 90, 100, 120, 125, 130, 130, 135, 140, 145, 145,12,它们的平均抗拉强度指标都是
3、126, 但是, 使用钢筋时, 一般要求抗拉强度指标不低于一个指定数值(如115). 那么, 第二批钢筋的抗拉强度指标与平均值偏差较大, 即取值较分散, 不合格的多, 可以认为第二批比第一批质量差.,13,可见在实际问题中, 仅靠期望值(或平均值)不能完善地说明随机变量的分布特征, 还必须研究期离散程度. 通常人们关心的是随机变量X对期望值E(X)的离散程度.,14,定义 如果随机变量X的数学期望E(X)存在, 称X-E(X)为随机变量的离差. 显然, 随机变量离差的期望是零, 即 EX-E(X)=0 不论正偏差大还是负偏差大, 同样都是离散程度大, 为了消除离差X-E(X)的符号, 用X-E
4、(X)2来衡量X与E(X)的偏差.,15,定义,16,17,如果X是离散型随机变量, 并且 PX=xk=pk (k=1,2,.), 则,18,19,可见随机变量的方差是非负数, D(X)0, 常量的方差是零. 当X的可能值密集在它的期望值E(X)附近时, 方差较小, 反之则方差较大.因此方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度,20,在数学推导中喜欢用方差D(X), 而在实际应用中则更喜欢用标准差sX ,这是因为标准差的量纲和随机变量的量纲一样, 随机变量的单位是元, 则标准差的单位也是元, 随机变量的单位是公斤, 则标准差的单位也是公斤.,21,对于一些测量工具的误差通常用标准差来描述, 而
5、这是有国家标准的. 一个经验之谈, 任何随机变量在实际实验中和它的数学期望之差超过3到5倍的标准差是实际不可能的, 但数学上不承认这一点. 例如, 假设一个秤的标准差为一克, 它称一公斤的东西可能不会正好一公斤, 但决无可能是0.994公斤, 也无可能是1.006公斤.,22,图示, 方差大和方差小的情况,方差小,方差大,f1(x),f2(x),x,x,23,例 计算参数为p的0-1分布的方差,24,解 根据X的概率函数 PX=1=p PX=0=1-p=q 则E(X)=0q+1p=p D(X)=(0-p)2q+(1-p)2p=p2q+q2p =pq(p+q)=pq=p(1-p) E(X)=p
6、D(X)=pq,25,例 计算本节开始所举甲乙两炮射击中D(X1), 及D(X2),26,解 已算得E(X1)=E(X2)=90, 则 D(X1)=1020.2+520.2+020.2+520.2+ 1020.2=50,27,D(X2)=520.2+2.520.2+020.2+2.520.2 +520.2=12.5,28,方差的性质,常量的方差等于零 证 D(c)=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0,29,(2) 随机变量与常量之和的方差就等于这个随机变量的方差本身 证 D(X+c)=EX+c-E(X+c)2=EX+c-EX-c)2 =E(X-EX)2=D(X),30,(3) 常量与随机变量
7、乘积的方差, 等于这常量的平方与随机变量方差的乘积. 证 D(cX)=EcX-E(cX)2=EcX-E(X)2 =Ec2X-E(X)2=c2DX,31,图示性质,c,X+c的概率密度,X的概率密度,32,图示性质,X的概率密度,cX的概率密度,33,(4) 两个独立随机变量之和的方差, 等于这两个随机变量方差的和,34,证 D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2 =EX-E(X)+Y-E(Y)2 =EX-E(X)2+Y-E(Y)2 +2X-E(X)Y-E(Y) =EX-E(X)2+EY-E(Y)2 +2EX-E(X)Y-E(Y) =D(X)+D(Y),35,这是因为X与Y独立, 则X-E(X)
8、与Y-E(Y)也独立, 因此EX-E(X)Y-E(Y) = EX-E(X)EY-E(Y)=0,36,性质4可以推广到任意有限个随机变量,即, 若X1,X2,.,Xn相互独立, 则有 D(X1+X2+.+Xn)=D(X1)+D(X2)+.+D(Xn),37,进一步可得: n个相互独立的随机变量的算术平均数的方差等于其方差算术平均数的1/n倍.,38,(5) 任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望与其期望平方之差, 即 D(X)=E(X2)-E(X)2,39,证 DX=EX-E(X)2 =EX2-2XE(X)+E(X)2 =EX2-2E(X)E(X)+E(X)2 =E(X2)-E(X)2 这
9、个公式很重要, 实际上计算一个随机变量的方差用的是这个公式.,40,计算E(X2)的办法:,41,例 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量X的方差.,42,解 已知X的概率密度为,前面我们已算出EX=(a+b)/2,43,44,上面的解法较麻烦, 另一种简单的解法是,先求出在0,1区间均匀分布的随机变量的方差, 再乘上(b-a)2, 就是在a,b区间均匀分布的随机变量的方差.,45,46,47,例 两相互独立的随机变量X,Y的分布如下面两表所示, 计算D(X-Y),48,解 E(X)=90.3+100.5+110.2=9.9 E(Y)=60.4+70.6=6.6 E(X2)=810.3+1
10、000.5+1210.2=98.5 D(X)=E(X2)-E(X)2=98.5-98.01=0.49 E(Y2)=620.4+720.6=43.8 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=43.8-43.56=0.24 D(X-Y)=D(X)+D(Y)=0.49+0.24=0.73,49,例 若连续型随机变量X的概率密度是,已知E(X)=0.5, D(X)=0.15, 求系数a,b,c.,50,51,也即从,52,得,53,54,55,56,例6 设随机变量X服从几何分布, 概率函数 PX=k=p(1-p)k-1, k=1,2, 其中0p1. 求E(X),D(X).,57,解 记q=1-p,58,为求方差, 先求EX(X-1)=E(X2)-E(X),59,60,作业 习题4-2 第68页开始 第2题,第4题,