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1、1,概率论与数理统计 第16讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,超几何分布,3,例 某班有学生23名, 其中有5名女同学, 今从班上任选4名学生去参观展览, 被选到的女同学数X是一个随机变量, 求X的分布.,4,解 X可取0,1,2,3,4这5个值, 相应概率为,5,概率分布表为,6,概率分布图为:,7,定义 设N个元素分为两类, 有N1个元素属于第一类, N2个元素属于第二类(N1+N2=N). 从中按不重复抽样取n个, 令X表示这n个中第一(或二)类元素的个数, 则X的分布称为超几何分布. 其概率函数为:,8,9,根据概率分布的性质, 必有,10,和二项分布相比,二项分布是放回抽
2、样, 而超几何分布是不放回抽样. 当在不放回抽样时, 超几何分布中的N1/N相当于二项分布中的参数p, N2/N相当于二项分布中的q=1-p.,11,超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个0-1分布的随机变量Xi的和, i=1,2,.,n, Xi表示第i次抽样抽到第一类元素的事件的次数, 根据抽签原理P(Xi=1)=N1/N, 但如果ij, Xi与Xj相互之间是不独立的.,12,计算超几何分布的数学期望,13,因为X可看作n个相互并不独立但仍然服从同样的0-1分布的随机变量X1,X2,.,Xn的和, X=X1+X2+.+Xn, 其中,14,因此,可以认为超几何分布的数学期望与二项分布的一样,
3、15,计算X的方差,16,因Xi服从0-1分布, 则Xi2也服从同样的0-1分布, 则E(Xi2)=nN1/N, 当ij时, XiXj也服从0-1分布,17,而,18,因此,19,20,也可以直接用定义来计算E(X)和D(X),21,22,23,计算D(X)必须要先计算EX(X-1),24,25,26,因此,27,28,在实际应用中,元素的个数N是相当大的, 例如, 从中国人民中任抽几千个人观察, 从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件观察, 等等. 而在N非常大的情况下, 放回抽样和不放回抽样的结果几乎是相同的.,29,因此有, 当N很大的时候, 超几何分布可用二项分布来近似. 或者换句话说,
4、 当N趋于无穷时, 超几何分布的极限是二项分布.,30,为证明这一点, 首先给出一个近似公式,31,这是因为,32,因此, 如果X服从超几何分布, 则当抽样数n保持不变且远小于样本数N即也小于N1和N2时,33,这正是二项分布的概率函数表达式 当N趋于无穷时, 上面的约等于就成为等于,34,例 一大批种子的发芽率为90%, 今从中任取10粒, 求播种后, (1) 恰有8粒发芽的概率; (2) 不少于8粒发芽的概率.,35,解 设10粒种子中发芽的数目为X. 因10粒种子是由一大批种子中抽取的, 这是一个N很大, n相对于N很小的情况下的超几何分布问题, 可用二项分布近似计算.其中n=10, p
5、=90%, q=10%, k=8,36,n=10, p=90%, q=10%, k=8,37,泊松(Poisson)分布,在编写电子游戏程序时, 有时需要某个目标随机出现, 比如说, 在驾驶游戏中希望平均十秒钟对面出现一辆迎面开来的车. 因此而每秒种做一次发生概率为p=1/10的贝努利试验概型的试验, 则十秒钟就做了n=10次, 平均发生次数为np=1.,38,而更精确的做法是每十分之一秒做一次p=1/100的试验, 则十秒钟n=100, 平均发生次数也是np=1. 还可以将n增加p再减少来保持均值np不变.,39,图示,时间t,1,10,1,10,时间t,每秒做一次发生概率为1/10 的试验
6、,每1/10秒做一次发生概率为1/100的试验,40,因此就想到, 固定二项分布的均值np不变, 即令l=np的条件下, 让n很大, p很小, 甚至让n趋于穷大, p趋于无穷小, 会变成什么分布,41,42,定义 如果随机变量X的概率函数是,则称X服从参数为l的泊松分布, 记作XP(l)或Xp(l).,43,定义 如果随机变量X的概率函数是,44,泊松分布常见于所谓稠密性的问题中, 如一段时间内, 电话用户对电话台的呼唤次数, 候车的旅客数, 原子放射粒子数, 织机上断头的次数, 以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等.,45,泊松分布的数学期望,46,47,泊松分布的方差,48,4
7、9,50,通常在n比较大, p很小时, 用泊松分布近似代替二项分布的公式, 其中l=np. 泊松分布的方便之处在于有现成的分布表可查 (见附表2),51,例 X服从泊松分布, E(X)=5, 查表求PX=2, PX=5, PX=20,52,解 因泊松分布的参数l就是它的期望值, 故l=5, 查书后附表2, 有 P5(2)=0.084224, P5(5)=0.175467, P5(20)=0,53,例 一大批产品的废品率为p=0.015, 求任取一箱(有100个产品), 箱中恰有一个废品的概率.,54,解 所取一箱中的废品个数X服从超几何分布, 由于产品数量N很大, 可按二项分布公式计算, 其中
8、n=100, p=0.015.,55,但由于n较大而p很小, 可用泊松分布公式近似代替二项分布公式计算. 其中l=np=1.5, 查表得: P1.5(1)=0.334695 误差不超过1%.,56,例 检查了100个零件上的疵点数, 结果如下表:,试用泊松分布公式计算疵点数的分布, 并与实际检查结果比较.,57,解,58,计算出来的图表如下所示:,59,60,指数分布 定义 如随机变量X的概率密度为,简记为Xe(l),61,62,指数分布的分布函数,63,指数分布的分布函数,64,对任何实数a,b(0ab), 有,指数分布的数学期望和方差为,65,指数分布经常用来作各种“寿命”分布的近似.,如
9、随机服务系统中的服务时间, 某些消耗性产品(电子元件等)的寿命等等, 都常被假定服从指数分布. 假若产品的失效率为l, 则产品在t(t0)时间失效的分布函数为 F(t)=1-e-lt 而产品的可靠度为 R(t)=1-F(t)=e-lt,66,例 某元件寿命X服从参数为l(l-1=1000小时)的指数分布, 3个这样的元件使用1000小时后, 都没有损坏的概率是多少?,67,解 参数为l的指数分布的分布函数为,P(X1000)=1-P(X1000)=1-F(1000)=e-1 各元件寿命相互独立, 因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为e-3(约为0.05).,68,作业: 第25页开始, 习题2-2 第12,14,16题 第32页开始, 习题2-4 第28题,