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1、概率论与数理统计 第3章,第3章 二维随机变量及其分布,二维随机变量及其分布函数 边缘分布 随机变量的相互独立性及条件分布 多维随机变量函数的分布,3.1二维分布函数及其基本性质,一般二维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量及其概率函数 二维连续型随机变量及其联合密度函数,二维随机变量及其分布函数,定义2.2.1 设,为定义在同一个概率空间(,F,P)上的两个随机变量，则(,)称为二维随机变量。,X,Y,x,y,X x,Y y, , ,二维联合分布函数区域演示图:,(x,y),(区域演示图见下页),联合分布函数性质,F(x,y) 分别对x和y单调不降；,(2)F(x,y) 对每个变元右连续
2、；,X,Y,x1,y1,(x1,y1),x2,y2,(x2,y2),(x1,y2),(x2,y1),3.1.1二维离散型随机变量及其分布,3.1.1 二维离散型r.v.的联合分布,称p(i,j)=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,)为(X,Y)的联合概率分布.其中E=(xi,yj),i,j=1,2,.为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:,联合概率分布性质 p（i，j）0 ;i,j=1,2,p(i,j) = 1;,P(X,Y)D =,例1 将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.,解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有
3、可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:,X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,P(X=0,Y=4)=,P(X=2,Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3,Y=1)=,=1/4,P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16,X 0 1 2 3 4,Y 0 1 2 3 4,联合概率分布表为:,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0,P(X=1,Y=3)=,0.54=1/16,3.1.2 二维连续型随机变量及其联合密度函数,例2 设(X,Y),试求:(1)常数
4、 A ;(2)P X2, Y1;,(4) P（Xx,Yy）.,(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,3.2.2 离散型r.v.的独立性,定义：若二维离散型r.v.（X，Y）的联合分布与边际分布满足 i，j=1，2， 则称随机变量X与Y相互独立.,3.2 边缘分布,定义：称 i,j=1,2,)为(X,Y)的关于Y的边缘分布,3.3 条件分布,为Y= yj条件下随机变量X的条件概率函数,定义：若 ，则称,条件分布函数,相应的，条件密度函数：,条件概率的性质,一般随机变量的条件分布函数,一般随机变量的条件分布函数可表示为,其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.,则称(X,Y)服从
5、区域D上的均匀分布.,(1) 均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为,对于D中任意可度量子区域G有,其中:SG为区域G的面积.,3.3.2常见的二维连续型随机向量,定义 如果(X,Y)的联合密度函数为,其中,则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布,简记为,(2) 二维正态分布,则X,Y的边缘概率密度分别为 XN(1,12), Y N(2,22);,可以证明 若,即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布. 由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.,例3 设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布, 其中 D=(x,y),x2+y21,
6、求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).,解 (1)由题意得:,-1,1,当|x|1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0,当|x|1时,所以,同理,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布,练习 设(X,Y),求(X,Y)的联合分布函数.,1,1,解 (1)x0,或y0时,F(x,y)=0 (2)x1,y1时,F(x,y)=1 (3)0x1,0y1时, F(x,y)=,(4)0x1,y1时,F(x,y)=,(5)x1,0y1时,F(x,y)=,x,y,4xy,综合即得:,3.4 相互独立的随机变量,相互独立的随机变量,随机变量与相互独立,例 (X,Y)的联合概率分布为:,(1)求X,Y
7、的边缘分布; (2)判断X,Y是否独立. (3)求F(0,2).,解:(1)X,Y的概率分布分别为:,X 0 1 P 0.7 0.3,Y 0 1 P 0.5 0.5,(2)P(X=0,Y=0)=0.3,P(X=0)P(Y=0),=0.35,X,Y不独立.,注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.,=0.70.5,(3)F(0,2)=P(X0,Y2)=0.3+0.4=0.7,例 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中(1)D=(x,y),|x|1,|y|1;(2)D=(x,y),x2+y21,f1(x)=,|x|1,|x|1,0,f2(y)=,解 (1),同理
8、,所以,X,Y独立.,(2),X,Y不独立.,3.4 多维随机变量的函数的分布,的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?,例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函数.,一、 的分布,例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为,的泊松分布.,例3 设X和Y的联合密度
9、为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度 .,例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1)
10、, 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为:,1. M = max(X,Y) 的分布函数,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(
11、z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2. N = min(X,Y) 的分布函数,由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为:,设 X1,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn) 和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i = 1, , n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用 (当系统 损坏时, 系统 开始工作) , 如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为,其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,三、课堂练习,设 是相互独立的随机变量, 它们都服从正 态分布 .试验证随机变量 具有概率密度,