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1、称 服从自由度为 的 分布，记为,常用统计分布,Review,称 服从自由度为 的 分布，记为,常用统计分布,Review,称 服从自由度为 的 分布，记为,常用统计分布,Review,抽样分布与统计推断,设总体 的均值和方差,是来自总体 的样本，则,都存在.,证,样本均值与样本方差的数字特征,单正态总体的抽样分布,单正态总体抽样分布定理,仍服从正态分布,定理一,本,则,由正态分布的性质知，线性组合,单正态总体抽样分布定理,单正态总体抽样分布定理,定理三,分别为样本均值和样本方差，则有,证,由定理一、定理二有,且 与 独立,，由 分布的定义有,例1 设 为X的一个样本,求: 样本均值的数学期望
2、与方差;,单正态总体的抽样分布,例1 设 为X的一个样本,求: 样本均值的数学期望与方差;,单正态总体的抽样分布,单正态总体的抽样分布,例3 在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(,100), 现在进行了25次发射试验, 用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差. 试求S2超过50的概率.,单正态总体的抽样分布,单正态总体的抽样分布,例4 从正态总体N(,0.52)中抽取容量为10的样本X1,X2,.,Xn.若未知, 计算概率:,单正态总体的抽样分布,单正态总体的抽样分布,统计推
3、断与参数估计,参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计新生儿的平均体重、估计废品率、估计 平均降雨量等。,在参数估计问题中，假定总体分布 形式已知，未知的仅仅是一个或几个 参数.,参数估计问题,参数估计就是要从样本出发去构造一个统计量作为总体中某未知参数的一个估计量。包括点估计和区间估计两种。 若总体X的分布函数形式已知，但它的一个或多个参数未知，则由总体X的一个样本估计总体未知参数的值的问题就是参数的点估计问题。 要求由样本构造一个以较大的概率包含真实参数的一个范围或区间，这种带有概率的区间称为置信区间，通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法
4、 称为区间估计。,参数估计问题,设总体X的分布函数形式已知, 但它的一个或多个参数为未知, 借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的问题称为点估计问题.,点估计问题,估计量：用于估计总体参数的统计量 如样本均值，样本比率、样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量 参数用 表示，估计量用 表示 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 X =80，则80就是的估计值,点估计问题,点估计问题,点估计问题,点估计没有给出估计值接近总体参数程度的信息；同时，也可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同。,评价估计量的标准,那么那一个估计量好坏的
5、标准是什么?,1.无偏性 (unbiasedness) 设 为总体未知参数 的估计量 若,则称 是 的无偏估计量，称 具有无偏性。否则，,是有偏估计量.,偏差=,评价估计量的标准,无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数,无偏估计的实际意义: 无系统误差.,无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 .,评价估计量的标准,注:,是的无偏估计量,评价估计量的标准,评价估计量的标准,评价估计量的标准,评价估计量的标准,评价估计量的标准,2有效性,或,两个以上的 无偏估计量,具有最小方差,最佳无偏估计量,评价估计量的标准,有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小方差的估计量更有效,
6、评价估计量的标准,评价估计量的标准,评价估计量的标准,评价估计量的标准,评价估计量的标准,3相合性（consistency） 如果对任意小的正数，有,则称,是,的一致估计量，称,具有一致性，可以证明,均具有一致性。,评价估计量的标准,由于估计量是样本的函数, 是统计量, 故对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估计量的问题是关键问题.,估计量的求法: (两种),矩估计法和最大似然估计法.,估计量的求法,1、 矩估计法,其基本思想是用样本矩估计总体矩 .,理论依据:,它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法 .,是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 .,大数定律,估计量的求法,用
7、样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,从而得出参数估计，这种估计法称为矩估计法.,记总体k阶中心矩为,样本k阶中心矩为,设 X1, X2, , Xn 来自总体X的样本,记总体k阶矩为,样本k阶矩为,矩法估计,矩估计法的具体步骤:,矩法估计的操作步骤,例1 设总体 服从泊松分布 ， 求参数 的估计量.,解：设 是总体 的一个样本,由于 ,可得,矩法估计,解,例2,矩法估计,解方程组得到a, b的矩估计量分别为,矩法估计,解,例3,矩法估计,解,解方程组得到矩估计量分别为,例4,矩法估计,上例表明:,总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因不同的总体分布而异.,一般地:,矩法
8、估计,矩法的优点是简单易行,缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 .,矩法估计,2、 最大似然估计法(MLE),最大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 .,它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 ,然而，,Gauss,Fisher,这个方法常归功于英国统计学家费歇 .,费歇在1922年重新发现了 这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质 .,最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大 的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干 个可能的结果A,B,若在一次试验中结果A出现， 一般认为A出现的概率最大,最大似然估计,似然函数实质上是样本的联合分布律,于是定义下面的似然函数,最大似然估计,求最大似然估计量的一般步骤为：,（1）求似然函数,（2）一般地，求出,及似然方程,（3）解似然方程得到最大似然估计值,（4）最后得到最大似然估计量,解,似然函数,例1,最大似然估计,这一估计量与矩估计量是相同的.,最大似然估计,解,X 的似然函数为,例2,最大似然估计,最大似然估计,它们与相应的矩估计量相同.,最大似然估计,三、小结,两种求点估计的方法:,矩估计法,最大似然估计法,在统计问题中往往先使用最大似然估计法, 在最大似然估计法使用不方便时, 再用矩估计法.,