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1、教材,概率论与数理统计 上海财经大学应用数学系 上海财经大学出版社 (2007版),参考书,￥58.00,中国统计出版社,2003-5-1,作者: （美）SHELDON ROSS,概率论基础教程（原书第6版） A First Course in Probability (6th Edition) 作者: （美）SHELDON ROSS 译者：赵选民 等 市场价: ￥42.00 出版社: 机械工业出版社 出版日期:2006-4-1 丛书: 华章数学译丛,第一章 事件与概率,第一节 随机现象与随机试验,在一定条件下，必然发生或必然不发 生的现象，称为确定性现象。,例1 在平面上给一个三角形，则三个
2、内 角之和为180度。,一随机现象,高等数学是研究确定性现象，主要研究函数,注：本课程主要工具是微积分，如极限， 连续，导数，偏导数，级数，定积 分，二重积分等,例2 在一个大气压下，没有加热到100度 不会沸腾。,在一定条件下，可能出现这个结果，也可能出现那样结果，而且不能事先确定出现哪一个结果的现象，称为随机现象。,例1 抛一枚硬币。,例2 从一工厂的某种产品中抽出n件产品，观察次品个数。,随机现象又分为个别随机现象和大量性随机现象。,个别随机现象：原则上不能在不变的条件下重复出现。例如历史事件。,大量性随机现象：可以在完全相同的条件下重复出现。例如抛硬币。,概率论只研究大量性随机现象在完
3、全相同的条件下重复出现时所表现出来的规律性。,以后随机现象都是指大量性随机现象。,问题：随机现象难道还有规律性吗？,例如，抛一枚硬币。,随机现象所表现出来的规律性称为统计规律性。,概率论和数理统计的研究对象：,概率论和数理统计是研究（大量性）随机现象统计规律性的数学学科。,概率论和数理统计的研究方法：,概率论研究方法是提出数学模型，然后研究它们的性质，特点和规律性。,数理统计是以概率论的理论为基础，利用对随机现象的观察所取得的数据资料来提出数学模型，并加以应用。例如控制和预测等。,二随机试验,观察一定条件下发生的随机现象称为随机试验，还必须满足下述条件：,条件实现一次就是一次试验 。,试验可以
4、在相同的条件下重复进行；,2.试验之前能确定所有可能发生的结果，并 且规定每次试验有且仅有一个结果出现；,3.试验之前不能确定将会出现哪一个结果。,例1 抛一枚硬币。 例2 从一工厂的某种产品中抽出n件产品。,第二节 样本空间和随机事件,一样本空间,随机试验的所有可能的结果放在一起组成的集合称为样本空间。,记为,样本空间的每一个元素称为样本点。,记为,在概率论中讨论一个随机试验时，首先要求明确它的样本空间。,样本空间可以根据随机试验的内容来决定。 但写法不一定惟一。,鉴于写出样本空间的重要性，举一些例子。,例1 抛一枚硬币观察正反面出现的情况。,正面,Heads,反面,Tails,例2 抛二枚
5、硬币观察它们正反面出现的况。,例3 从一工厂的某种产品中抽出n件产 品，观察次品个数。,例4 从包含两件次品（记作,）和三,件正品（记作,）的五件产品,中，任取两件产品。,例4 从包含两件次品（记作,）和三,件正品（记作,）的五件产品,中，任取两件产品。,例5 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 与目标的距离。,例6 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 的分布情况。,二随机事件,例4 从包含两件次品（记作,）和三,件正品（记作,）的五件产品,中，任取两件产品。,例4 从包含两件次品（记作,）和三,件正品（记作,）的五件产品,中，任取两件产品，观察次品个数。,=“没有抽到次品”,=“抽到一个次品”,
6、=“抽到两个次品”,注意：它们都是样本空间,的子集。,样本空间的子集称为随机事件，简称事件。,常用,表示随机事件。,这个定义要注意的是样本空间确定后， 随机事件所包含的样本点只能在这个 样本空间中找。,规定：随机事件A发生当且仅当随机事件A 中有某一个样本点出现 。,记作,这样集合论就和概率论联系起来了。,例5 向某一目标发射一发炮弹，观察落 点与目标的距离。,随机事件A=“距离目标不超过100米”,例6 向某一目标发射一发炮弹，观察落点的分布情况。,随机事件A=“距离目标不超过100米”,考虑两个特殊的随机事件：,由于,，所以样本空间,也是随机事件。,但每做一次随机试验，样本空间,必然发生，
7、,又称样本空间,为必然事件。,由于,，所以空集,也是随机事件。,但每做一次随机试验，空集,一定不发生，,又称空集,为不可能事件。,三随机事件的关系和运算,下面的讨论都是在同一个样本空间,为了简单事件表示复杂事件，需要研 究随机事件的关系和运算。,即,都是,的子集。,上，,1包含,若随机事件A发生必然导致随机事件 B发生，则称随机事件B包含随机事件A，或者称随机事件A包含在随机事件B中。,记为,用集合论语言，,A,B,维恩(Venn)图,若,，则称随机事件A,与随机事件B相等，记为,2交（积）,“随机事件A与随机事件B同时发生”是一个随机事件，则称此随机事件为随机事件 A与随机事件B的交（积），
8、记为,用集合论语言，,“n个随机事件,同时发生”是一个,随机事件，则称此随机事件为 n个随机事件,的交（积），记为,，简记为,若随机事件A与随机事件B不能同时发 生，则称随机事件A与随机事件B互不相 容或互斥。,用集合论语言，,若n个随机事件,中任意两个,随机事件都不能同时发生，则称n个随机事件,两两互不相容或两两互斥。,用集合论语言，,3并,“随机事件A与随机事件B至少有一个发生”是一个随机事件，则称此随机事件为随机事件A与随机事件B的并，记为,用集合论语言，,“n个随机事件,至少有一个发生”,是一个随机事件，则称此随机事件为,n个随,机事件,的并，记为,，简记为,若n个随机事件,两两互不相
9、容，,称并,为n个随机事件,的和，记为,，简记,每次试验随机事件A与随机事件B有且仅有一个发生，则称随机事件B为随机事件A的对立事件 （逆事件），记为,随机事件A也为随机事件B的对立事件 （逆事件），记为,用集合论语言，,A,4对立事件（逆事件）,“随机事件A发生，且随机事件B不发生” 是一个随机事件，则称此随机事件为随机 事件A与随机事件B的差，记为,5差,用集合论语言，,差化积：,1吸收律：,2幂等律：,3交换律：,三运算规律,4结合律：,5分配律：,6德莫根（De Morgan）律：,运算顺序：逆交并差，括号优先,例1 在图书馆中随意抽取一本书， 随机事件 A表示数学书 B表示中文书 C
10、表示平装书,则,表示抽取的是精装中文版数学书，,表示精装书都是中文书，,表示非数学书都是中文版的书，且中文版的书都是非数学书。,例2 若,表示第,个射手击中目标,则,3个射手都击中目标：,3个射手都未击中目标：,3个射手中至少有一个击中目标：,3个射手中至少有一个未击中目标：,3个射手中至少有二个击中目标：,如果随机事件,在,次试验中发生了,次，称比值,为随机事件,的频率，,记为,随机事件,发生可能性大小的数值称为,随机事件,发生的概率（probability），,记为,频率具有稳定性。,第三节 频率与概率,第四节 古典概型与几何概率,一古典概型,一个随机试验的样本空间为,满足以下性质：,（1
11、）样本点总数有限，即,有限；,（2）每个样本点出现的概率相等，即,称满足以上2个性质的模型为古典概型。,随机事件,定义,称此概率为随机事件,的古典概率。,例1 将一枚均匀对称的硬币抛3次，观察正反面，,（1）写出样本空间；,（2）设事件,为“恰有一次出现正面”，求,（3）设事件,为“至少有二次出现正,面”，求,例2 任取一个正整数，求它是奇数的概率。,例3 掷两颗骰子，求它们点数之和为3的概率。,设,=“它们点数之和为3”,说明有限性,说明等可能性,例4 P9 例1-12,袋中有a个白球和b个黑球，每次从袋 中任取一球，取出的球不再放回去，求第k次取到白球的概率。,说明用不同的样本空间解决问题
12、,例5 P8 例1-10,某批产品共N件，其中有M件次品，无放回地从中任取n件产品，问恰好有k件次品的概率是多少？,注：这是一个重要模型,例6 任取一个正整数，求该数的平方末位数为1的概率。,设,=“该数的平方末位数为1”,例7 讨论福利彩票和体育彩票。,在一次乒乓球比赛中设立奖金1千 元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部 奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了 3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因 必须中止比赛.问这1000元应如何分配 才算公平?,问 题,二几何概率,设有一个有界区域,，区域中的每个点,出现的可能性相同，,事件,表示,点落在,中，则定义,为事件,的几何概率。,例1 P1
13、0 会面问题,两人约定于0到T时内在某地会面，先到者等,时后离开，假定两人在0到T时内各,时刻到达的可能性相等，求两人能会面的概 率。,例2 P11 蒲丰投针问题,第五节 概率的公理化定义和性质,一概率的公理化定义,古典概率的基本性质：,1（非负性）对任何事件,2（规范性）,3（有限可加性）若事件,两两互不相容，则,几何概率的基本性质：,1（非负性）对任何事件,2（规范性）,3（可列可加性）若事件,两两互不相容，则,一般概率的定义，即概率公理化定义：,随机事件,发生可能性大小的数值称为,随机事件,发生的概率（probability），,记为,1（非负性）对任何事件,2（规范性）,3（可列可加性
14、）若事件,两两互不相容，则,还必须满足以下3条公理：,柯尔莫哥洛夫,1903年4月25日生于俄国坦波夫,1987年10月20日卒于苏联莫斯科,Kolmogorov,A.N.,最为人所道的是对概率 论公理化所作出的贡献,1939年，他被选为苏联科学院数理部院士,1980年鉴于他“在调和分析、概率论、 遍历论和动力系统深刻而开创性的发 现”而获得沃尔夫(Wolf)奖,他一生共写学术论文(包括合作)488篇,他是20世纪苏联最有影响的数学家， 也是20世纪世界上为数极少的几个 最有影响的数学家之一,他研究的领域非常广泛，几乎遍及一切 数学领域,二一般概率的性质,性质1：,性质2：（有限可加性）设,两两互不相容，则,性质3：,例1 有4张壹分，3张贰分，2张肆分和1 张捌分的邮票，任取其中3张，求,（1）取出的3张邮票的总值为壹角的概率；,（2）取出的3张邮票中至少有2张邮票的面 值相同的概率。,解：（1）,=“取出的3张邮票的总值为壹角”,（2）,=“取出的3张邮票中至少有2张邮票的面值相同”,性质4 设,则,推论：设,则,反之不成立。,推广：,性质5：（并定理）,推论：,例2 袋中装有红，黄，白色球各一个，每 次抽取一球，有放回地抽三次，求抽出球中无红色或无黄色的概率。,解：,=“抽出球中无红色”，,=“抽出球中无黄色”,推广：,