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1、1,第一章 随机事件及其概率小结,一、基本内容,1.随机试验,（1）试验在相同的条件下可重复进行；,（2）试验前知道试验的所有可能结果，,并且可能的结果不止一个；,（3）试验前不知道那一个结果会出现。,具有下列特点的试验称为随机试验 ( 试验 ):,2.样本空间与样本点,样本空间,随机试验的所有可能的结果所组成的集合，,记作；,样本点,样本空间中的每个元素，,记作。,即试验的每一可能的结果，,(一)随机试验与样本空间,2,(二) 事件及事件之间的关系与运算,1.随机事件、必然事件、不可能事件,2.事件间的关系与运算,(1)包含与相等,(2)和事件:,“n 个事件 中至少有一个发生”,“二事件
2、A 与 B 至少有一事件发生”,(3)积事件:,或,n 个事件的积,或,“二事件 A 与 B 都发生”,(4)互不相容(互斥)事件:,事件 A 与 B 不能同时发生,若 n 个事件 中任意两个事件不可能同时发生，即,通常把 n 个互不相容事件 的和记作,3,(5 ) 逆事件,或,(6)完备事件组,互不相容的完备事件组：,且,若 满足,(1).,(2).,(3).,3.事件运算的性质,4,(三) 概率的定义,概率的定义,事件 A 发生的可能性大小,概率的古典定义：,几何概率的定义:,概率的统计定义,概率的公理化定义,(四) 概率的有关定理及公式,1.加法定理,若事件 互不相容，则,5,2.条件概
3、率及乘法定理,条件概率,乘法定理,3.全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,其中,贝叶斯公式,6,(五) 事件的独立性与独立试验序列,事件的独立性,事件 A 与事件 B 相互独立,若 n 个事件 A1,A2,An 是相互独立的，则,如果在独立试验序列中事件 A 的概率为 p (0 p 1)，,次试验中事件 A 恰好发生 m 次的概率,其中 。,则在 n,7,第一章 随机事件及其概率,一、几种概率,1、统计概率,2、古典概率,3、几何概率,4、条件概率,5、贝努利概率,8,二、事件的关系及其概率,4、事件A与B是相互独立,9,三、概率的公式,1、加法公式,2、乘法公式,3、全概率公式,4、逆概率公
4、式,10,(1) 仅 A 发生;,(3) A、B、C都不发生;,(9) A、B、C中最多有一个发生。,2.,(4) A、B、C不都发生;,(5) A不发生，且B、C中至少有一发生;,(8) A、B、C中至少有两个发生；,(7) A、B、C中恰有一个发生；,(6) A、B、C中至少有一个发生；,或,或,第一章,或,(2) A、B、C都发生;,11,4. 电话号码由6个数字组成，每个数字可以是0、1、2、9中的 任一个（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的 数字组成的概率。,解,设事件A 表示电话号码是由完全不同的数字组成，,基本事件的总数：,则A所包含的基本事件的数：,12,5. 把
5、10本书任意地放在书架上, 求其中指定的3本放在一起的概率。,解,设事件A 表示指定的3本放在一起，,基本事件的总数：,则A所包含的基本事件的数：,13,6. 为减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行 比赛，求最强的两队分在不同组内的概率。,解,设事件A 表示最强的两队分在不同组内，,基本事件的总数：,则A所包含的基本事件的数：,另解,14,解,设A表示恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的事件,设B表示恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌的事件,15,（1）,8. 3个球随机的投入4个盒子中，求下列事件的概率： （1）A是任意3个盒子中各有1个球； （2）B是任意
6、1个盒子中有3个球； （3）C是任意1个盒子中有2个球，其它任意1个盒子中有1个球。,解,（2）,（3）,13. 某工厂生产的100个产品中，有5个次品，从这批产品中任取一 半来检查，设A表示发现次品不多于1个，求A的概率。,解,16,1.9,同时掷4个均匀的骰子，求下列事件的概率：,（1）A四个骰子的点数各不相同。,（2）B恰有两个骰子的点数相同。,（3）C四个骰子的点数两两相同，但两对的点数不同。,（4）D恰有三个骰子的点数相同。,（5）E四个骰子的点数都相同。,17,14. 袋中有2个五分、3个二分和5个一分的硬币，任取其中5个， 求总数不超过一角的概率。,解,设事件A表示总数不超过一角
7、，,则,A1=“取出2个五分和3个其它的硬币”,A2=“取出1个五分、 3个二分和1个一分的硬币”,A3=“取出1个五分、 2个二分和2个一分的硬币”,互不相容，,显然,18,14. 袋中有2个五分、3个二分和5个一分的硬币，任取其中5个， 求总数不超过一角的概率。,另解,设B1=“取出的5个硬币中不含五分硬币”,B2=“取出1个五分、 4个一分的硬币”,B3=“取出1个五分、 1个二分和3个一分的硬币”,19,（1）,16. 20件产品中，一等品9件，二等品7件，三等品4件，从中任取 3件，求下列事件的概率： （1）A是任取的3件产品中恰有2件等级相同的产品； （2）B是任取的3件产品至少有
8、2件等级相同的产品。,解,（2）,或,20,1.17. 设P (A) 0， P (B) 0 ，将下列四个数： P (A) 、P (AB) 、P (AB) 、P (A) + P (B) 用“”连接它们，并指出在什么情况下等号成立。,解,21,1.18. 设P (A) = 0.5， P (B)=0.7 ，则,解,（1）在怎样的条件下P (AB)最大？,（2）在怎样的条件下P (AB)最小？,P (AB)最大,P (AB)最小,22,21.,解,23,1.23,猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6，如果第 一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为 150米，如果第二次又
9、未击中，则进行第三次射击，这时距离变为 200米，假设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率。,解,A表示击中，An表示第n次击中(n=1,2,3)，则,24,25. 两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第 二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台 加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求： (1)任意取出的零件是合格品(A)的概率 (2)若任取出的零件是废品，求它是第二台加工的概率。,解,“取出的零件由第 i 台加工”,设Bi=,25,1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5是等可能的， (1)求A=“从1000个灯泡中任取100个灯泡都是好灯泡”
10、的概率； (2)若任取的100个灯泡都是好的，求1000个都是好的概率。,解,“取出的1000个灯泡中有i 个坏的”,设Bi=,26,26. 袋中有12个乒乓球，其中9个新的。第一次比赛从中任取3个， 比赛后仍放回袋中，第二次比赛再从袋中任取3个，求第二次 取出的球都是新球的概率。,解,“第一次取出的3个球中有i个新球”,设Bi=,27,解,设 表示发报台发出信号“”，,设 表示发报台发出信号“-”。,B 表示收报台收到信号“”，,C 表示收报台收到信号“-”，,则,（1）,（2）,28,，则A与B是独立的。,30. 证明：若,证, A与B是独立的。,另证, A与B是独立的。,29,31. 一
11、工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率： 第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7。求在一小时内最多有 一台需要工人照管的概率。,解,“第 i 台机床需要工人照管”,设Ai=,“在一小时内最多有一台需要工人照管”,A=,30,33.,“第i个元件正常工作”,“系统1正常工作”,“系统2正常工作”,31,34. 甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4、 0.5、0.7，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果 有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6。如果三人都击中，则 飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。,解,32,35. 甲乙两人轮流向同一目标射击
12、，第一次甲射击，第二次乙射击， ，设每次射击甲击中目标的概率为p1，乙击中目标的概率为p2 ， 求各人先击中目标的概率。,解,“前 2k 次均未中，第2k+1次甲击中”,设A2k+1=,“甲先击中目标”,设A=,则,两两互不相容，,33,“乙先击中目标”,设B=,“前 2k-1 次均未中，第2k次乙击中”,B 2k=,另解,34,36. 灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在 使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率 。,解,所求概率为,35,37. 甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次， 求：（1）甲乙进球数相等的概率P1； （2）甲比乙进球多的
13、概率P2 。,解,设事件Ai表示甲在3次投篮中投进i 个球，,又设事件Bi表示乙在3次投篮中投进i 个球，,36,37,38. 一次射击最多击中10环。某运动员在一次射击中得10环的概率 为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在 五次独立射击中不少于48环的概率。,解,设事件A表示在五次独立射击中不少于48环，,则,A1=“5次均击中10环”,A2=“有4次击中10环，1次击中8环”,A3=“有4次击中10环，1次击中9环”,互不相容，,显然,A4=“有3次击中10环，2次击中9环”,38,1.39 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴。经过若干 时间以后，发现一盒火柴已经用完。如果最初两盒中各有n根火柴， 求这时另一盒中还有r 根火柴的概率.,解,这时此人共使用了2n-r 根火柴，相当于2n-r+1次重复试验,故所求的概率为,在前 2n-r 次试验中，取到某一盒（不妨设为甲盒）的次数为 n 次，取到另一盒（乙）的次数为 n-r，在最后一次取到甲盒，,39,40. 某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05。每100个产品为一组， 在每批中任取一半来检查，若发现次品不多于一个，则这批产 品认为是合格的。求一批产品被认为合格的概率。,解,所求 的概率为：,