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1、概率论与数理统计 第1讲,本文件可从网址 http:/ 上下载 (单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录),绪论,人们通常将自然界或社会中出现的现象分成 二类： 一类是必然的 necessity, inevitability， 一类是偶然的 chanciness, casulness, chance, fortuity, randomly,必然现象的例： 同性电荷互相排斥 纯水加热到100必然沸腾 偶然现象的例： 掷一枚硬币，可能出现正面或反面两种结局，但究竟出现哪种结局事先无法确定,必然性和偶然性相互之间是有联系的,大量的偶然性会导致某种必然的结果 例如，在闹市区，开一家商店， 每天有哪些顾客
2、前来购买东西是偶然的 但每天必然有顾客来购买东西则是必然的 概率论的任务就是从偶然性中发现必然性,概率一词的英文是probability,Probable 意指可能 -ility 意指程度(large or small?) 因此，probability可认为是“可能性的大小”，翻译成中文就是概率，但也有不同时期或者不同的资料翻译成或然率或者几率的。 而在不同的学科中又有不同的称呼， 如产品合格率，犯罪率，出生率，离婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。,概率论在科学的各个学科中都有大量的应用,包括 社会科学：社会学，管理学，经济学，军事学，等等 和自然科学：包括物理学，化学
3、，生物学，医学，等等,本课程目的是为了给后继课程的应用打基础,分为两部分， 第一部分建立概率论的基本的各个术语和概念，常用的公式和基本的定理，这样后继课程就可以继续在专业领域中使用这些基础知识。 第二部分为数理统计，即研究怎样从大量的随机的看似杂乱无章的数字中获得统计结果的技术。 我们的重点放在第一部分,由于时间所限,所有带星号*的章节将不讲，也不作要求。 重点将放在前六章， 如果时间不允许将不进行期中考试， 如果进行期中考试将采取开卷形式，但只能看教材，不允许作弊。 在临近其末考试时将给出复习提纲。 除重修的同学外，所有学生必须到课，必须完成布置的作业，否则平时成绩将会降低,由于学生过多,每
4、次只能改部分作业, 分成组轮流交作业。 每位同学可根据书本后面的答案和网址 http:/上的习题解参考检查自己的作业。,复习或介绍一下常用的数学基础,排列与组合,乘法原理: 如果一个过程可以分成两个阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个阶段的任一种做法都可以与第二个阶段的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.,一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同的元素(0 r n)按照一定的顺序排成一列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素中取r个不同元素组成的一种排列. 对于所有不同排列的种数, 通常表示为,先设0rn, 每
5、一种排列由在r个有次序位置上各放上一个元素所组成. 第一个位置上的元素有n种不同的取法; 在它取定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有n-r+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所求排列种数为,或改写为,当r=n时, 所求排列种数为n!. 若规定0!=1, 则上式仍然成立. 因此, 当0rn时, 上述排列问题的答案总可以表达成,例1 计算从八个不同的元素中任取三个的排列种数. 解 所求排列种数为,例2 从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不同的数组成的三位数中有几个是偶数
6、? 解 所得的三位数是偶数, 它的个位上应是2,4,6中的一个. 因此, 按置在个位上的数有三种不同的取法, 而十位, 百位上的数共有65种不同的取法. 从而所求的个数为 365=90,以上排列问题中参加排列的元素是不允许重复的. 但有时需要考虑允许重复的情况, 例如电话号码就允许数字重复. 现考虑从n个各不相同的元素里任取一个, 然后放回去, 再取一个, 然后又放回去, 这样共进行r次, 问所得不同的排列共有多少种? 显然, 这种情况下排列种数共有,例3 用0,1,2,.,9这十个数字组成三位数, 在这些三位数中, (1) 如考虑数字可以重复, 问可以组成多少不同的三位数? (2) 三个数字
7、没有重复的有几个? (3) 三个数字都相同的有几个? (4) 只有两个数字相同的有几个?,解 (1) 在数字可以重复的情况下, 计算能组成多少个不同的三位数时, 由于百位数上不能放置0, 所以组成的不同的三位数的个数应为 91010=900,(2) 百位上的数字有9种不同的取法. 在百位上的数字取定后, 十位上的数字有9种不同的取法. 在百位和十位上的数字都取定后, 个位上的数字只有8种不同的取法, 所以没有重复数字的三位数的个数为 998=648.,(3) 由于百位上的数字有9种不同的取法, 在百位上的数字取定后, 十位上及个位上的数字随之而定, 所以三个数字都相同的三位数的个数为9.,(4
8、) 只有百位上与十位上的数字相同的三位数的个数为99, 只有十位上与个位上的数字相同的三位数的个数为99, 只有百位上与个位上的数字相同的三位数的个数为99. 所以只有两个相同数字的三位数的个数为 99+99+99=243,二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r个(0 r n)构成一组. 这里, 不考虑这r个元素的次序, 只研究有多少种不同的取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的组为一个组合. 对于所有不同的组合的种数, 通常把它记作,从n个不同元素中任取r个元素出来, 得到一个组合, 对这r个元素进行各种排列, 共得r!种不同的排列, 但所有这些排列均是由一种组合变来的, 所以
9、排列的种数,是组合种数,的r!倍, 即,例4 有五本不同的数学书, 八本不同的物理书, 从中任取两本数学书, 四本物理书. 问有多少种不同的取法? 解 从五本数学书中任取两本, 种数为,从八本物理书中任取四本, 种数为,因此所求总数为1070=700.,第二节 集合,集合, 有时简称为集, 是具有某种特定性质的事物所组成的集体. 通常用大写字母A,B,C,.来表示集合. 组成集合的各个事物称为这集合的元素. 如果e是集合A的一个元素, 便记作eA. 如果e不是A的元素记作eA. 如果集合A是由元素e1,e2,.等组成的, 记作 A=e1,e2,.,集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数,
10、函数, 事件, 人等等. 例如, (1) 全体自然数组成的集合A, 表示为: A=1,2,.; (2)在给定直线上全体点组成的集合; (3)平面上区域D中所有点组成的集合; (4)数轴上所有区间组成的一个集合; (5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数; (6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集合.,在讨论集合时, 重复的元素只算一次. 例如把1,2,2,3与1,2,3看作是同一个集合.,如果一个集合中只有有限多个元素, 称这集合为有限集. 如果一个集合中有无限多个元素, 称这集合为无限集. 如果一个无限集中的诸元素能与全体自然数构成一一对应关系, 则称这无限集为可数集或可列集, 否则为不可数
11、集.,集合之间的关系与集合的运算,一, 子集 如果属于集合A的任一元素都属于集合B, 则称集合A是集合B的子集, 记作AB(或BA), 读作A含于B(或B包含A).,B,A,例如, 由所有偶数组成的集合是由所有整数组成的集合的子集; 区间(1,2)是区间(1,4)的子集. 特别地, 一个集合A是它自己的一个子集. 显然, 当AB且BC时, AC.,为了讨论方便, 把不含任何元素的集合称为空集, 记作. 把空集作为任一集合A的子集, 即对任一集合A, A. 如果AB且BA, 则称集合A,B相等, 记作A=B,二, 并集 由至少属于集合A或集合B二者之一的所有元素所组成的集合称为集合A与集合B的并
12、集, 记作AB.,A,B,例如, 集合1,2,3与集合3,4,5的并集为 集合1,2,3,4,5; 区间(1,3)与(2,4)的并集为区间(1,4); 区间(-,3)与区间(-,1)的并集为 区间(-,3),由平面上坐标满足1x2的点的全体组成的集合与由坐标满足2y4的点的全体组成的集合的并集如图所示:,O,1,2,2,4,y,x,三, 交集 由同时属于集合A及集合B的所有元素所组成的集合称为集合A与集合B的交集, 记作AB,A,B,例如, 区间(-, 3)与区间(1, +)的交集为区间(1,3); 由平面上圆x2+y2=1内的所有点的集合与由横坐标大于零的所有点组成的集合的交集如图所示的右半
13、圆.,x,y,1,1,O,如果AB=, 即A,B无公共元素, 就称集合A与集合B互不相交. 例如, 由所有正数组成的集合与由所有负数组成的集合互不相交; 区间(1,2)与区间(2,3)互不相交.,集合的并与交满足如下的分配率: (AB)C=(AC)(BC).,A,B,C,证 下列诸关系式是相互等价的: e(AB)C, eAB且eC, eAC或eBC, e(AC)(BC). 从而上述分配律成立.,集合的并及交可以从两个推广到有限多个或可数多个集合上去, 诸集合A1,A2,.的并集A1A2.就是由至少属于A1,A2,.中一个的所有元素组成的集合; 诸集合A1,A2,.的交集A1A2.就是由同时属于
14、A1,A2,.的所有元素组成的集合. 分配律对于有限个或可数多个集合的并集也成立,即 (A1A2.)C=(A1C)(A2C).,四, 差集 余集 设A,B为任意两个集合, 称由属于集合A而不属于集合B的所有元素组成的集合为集合A与集合B的差集, 记作A-B,A,B,例如, 区间(1,4)与区间(0,2)的差集为区间2,4). 特殊地, 如果A与B不相交, 则 A-B=A,设BU, 称U-B为B在U内的余集, 记作,B,U,例如, 当U为整个数轴时, 区间(-,a)在U内的余集为a,+),下面给出几条关于余集的性质, 设A,B,.等都是U的子集, 为简便起见, 略去表达余集时的下标U.,可列个的
15、概念,英文为countable, count的意思是计数, countable的意思是可计数的, 因此被翻译成可列个, 也有翻译成可数个的. 这个词用来表示一个有着无限个元素的集合中的元素的多少的. 我们知道全体自然数的集合N=1,2,3,是无限个的, 而自然数N的多少就被定义成可列个. 此外, 任何与自然数N存在着1-1对应的关系的无限集合也被称为可列个.,也就是说,如果集合A是有无限多个元素, 而且每个元素可以用自然数作为下标来表示, 那么集合A就有可列个, 即A=a1, a2, a3, a4, , 也就是说, 任给A中的一个元素, 我们都有办法说出它是第几个元素. 例如, 全体正偶数的集
16、合E是可列的, 只要令 ai=2i, 则任给一个偶数我们都知道它是第几个偶数, 比如一个偶数246, 我们知道它是第123个偶数.,但是, 存在着无限集合其元素多于可列个的,即无法采用自然数下标的办法标出每一个元素. 实数集合R就是这样一个集合.下面我们证明在(0,1)区间的全体实数是不可列的, 即无法表示为自然数下标的形式. 证明通过反证法, 即假设存在着这样一种排列能够表示(0,1)区间的全体实数, 例如, 假设表示为 a1=0.230108370212 a2=0.102089402801 a3=0.328047038293 ,根据此排列构造一个新的实数a,使它的第i位小数与下面排列的第i位小数一样 a1=0.230108370212 a2=0.102089402801 a3=0.328047038293 a=0.208.然后再任找一实数b它的每一位小数与a的相应位小数都不一样, 例如, 令b=0.010, 则b一定不属于上面的排列中的任何一个实数, 由此证明实数为不可列个.,请提问,