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1、1,概率论与数理统计 第21讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,第八章 参数估计,3,问题的提出,人们经常遇到的问题是如何选取样本以及根据样本来对总体的种种统计特征作出判断。 实际工作中碰到的随机变量(总体)往往是分布类型大致知道, 但确切的形式并不知道, 亦即总体的参数未知. 要求出总体的分布函数F(x)(或密度函数f(x), 就等于要根据样本来估计出总体的参数. 这类问题称为参数估计.,4,估计量的优劣标准,设q为总体中要被估计的一个未知参数, 例如期望值或方差等,5,(一) 一致估计,6,7,(二) 无偏估计 根据样本推得的估计值与真值可能不同, 然而, 如果有一系列抽样构成各
2、个估计, 很合理地会要求这些估计的期望值与未知参数的真值相等, 它的直观意义是样本估计量的数值在参数的真值周围摆动, 而无系统误差.,8,9,例 从总体X中取一样本(X1,X2,.,Xn), E(X)=m, D(X)=s2, 试证明,10,11,即,12,因此,13,有效估计,14,15,16,获得估计量的方法点估计,17,最大似然估计法,Maximum likelyhood estimation,18,现在要根据从总体X中抽到的样本(X1,X2,.,Xn), 对总体分布中的未知参数q进行估计. 最大似然法是要选取这样的估计值, 当它作为q的估计值时, 使观察结果出现的可能性最大.,19,对于
3、离散型的随机变量就是估计概率函数中的参数q, 对于连续型的随机变量就是估计概率密度中的q.,20,设X为连续型随机变量, 它的分布函数是F(x;q), 概率密度是f(x;q), 其中q是未知参数, 可以是一个值, 也可以是一个向量, 由于样本的独立性, 则样本(X1,X2,.,Xn)的联合概率密度是,21,对每一取定的样本值x1,x2,.,xn是常数, L是参数q的函数, 称L为样本的似然函数(如果q是一个向量, 则L是多元函数),22,设X为离散型随机变量, 有概率函数P(X=xi)=p(xi;q), 则似然函数,23,24,最大似然估计值,25,26,例 已知,x1,x2,.,xn为X的一
4、组样本观察值, 求q的最大似然估计.,27,解 似然函数,28,29,例 某电子管的使用寿命(从开始使用到初次失效为止)服从指数分布(概率密度见前例), 今抽取一组样本, 其具体数据如下: 16, 29, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100 问如何估计q?,30,解 根据前例的结果, 参数q用样本均值估计.,31,例 已知X服从正态分布N(m,s2), (x1,x2,.,xn)为X的一组观察值, 用最大似然估计法估计m,s2的值.,32,解,33,34,解似然方程组,35,3
5、6,例 求普哇松分布中参数l的最大似然估计.,37,解 已知总体X的概率函数为,38,39,因此,40,例 求0-1分布的总体的对参数p的最大似然估计.,41,解 已知总体X的概率函数为 P(X=k)=pk(1-p)1-k,(k=0,1), 假设获得了n个样本值(x1,x2,.,xn), 当然这些值不是0就是1.,42,PX=k=pk(1-p)1-k,(k=0,1),43,44,45,例 设(x1,x2,xn)为从总体X中取出的一组样本观察值, 试用最大似然法估计X的概率密度f(x)中的未知参数q, 若,46,47,作业 第119页开始 习题6-2 第6,7题 学号小于2003021561的学生交作业,