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1、概率论与数理统计 第2讲,本文件可从网址 http:/ 上下载 (单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录),第一章 随机事件及其概率,试验,为了研究随机现象, 就要对客观事物进行观察.观察的过程称为试验.,概率论里所研究的试验有下列特点: 在相同的条件下试验可以重复进行; (2) 每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果; (3) 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果,试验也称随机试验, 记为E,样本空间,给定一个试验, 所有可能的结果的全体构成一个集合, 这个集合称作样本空间, 用S或表示, 这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本点
2、, 用e或表示.,试验和样本空间的例,1, 掷一次硬币为一个试验, 则有两个可能的试验结果, 正面和反面, 则 S=正面, 反面,试验和样本空间的例,2, 掷一次骰子为一个试验, 则有六个可能的试验结果, 1点, 2点, 3点, 4点, 5点和6点, 因此样本空间为 S=1点, 2点, 3点, 4点, 5点, 6点,更多的试验和样本空间的例,3, 掷两次硬币作为一次试验, 将两次试验结果排序, 则共有四种可能的结果: (反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正) 因此样本空间 S=(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正),更多的试验和样本空间的例,4, 掷两
3、次骰子作为一次试验, 将两次试验结果排序, 则共有36种可能的结果: S=(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), = (x,y)|x,y
4、=1,2,3,4,5,6,随机事件,随机事件简称事件, 就是样本空间的子集, 或者说事件就是试验结果的集合, 通常用大写英文字母A, B, C, 等表示. 通俗地说, 一个随机事件, 可构成一个严格的打赌的条件.,例如, 掷两次硬币这个试验, 事件A=“至少一次正面朝上“包括三个样本点(正,反),(反正),(正正). 也可以表示为 A=(正,反),(反,正),(正正),掷两次骰子的试验, 事件B=“两次点数相同“, 则B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),几个特殊的事件,基本事件: 只包括一个样本点, 或者说一个试验结果的事件称为基本事件. 请注意, 在数
5、学上, 基本事件也是一个集合, 是只包括一个元素的集合.,几个特殊的事件,必然事件: 包括整个样本空间S的所有元素的事件, 或者就用S表示, 则每次试验必然发 生, 因此称为必然事件.,几个特殊的事件,不可能事件: 不包括任何元素的空集, 即每次试验一定不会发生, 称为不可能事件, 用表示, 则=.,事件的图示,为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件或者整个样本空间S, 其中的一个子区域表示一具体的事件.,A,S,事件间的关系及其运算,事件的包含,如果事件A发生必然导致事件B发生, 即属于A的每一个样本点都属于B, 则称事件B包含事件A或称事
6、件A含于事件B, 记作 BA或AB,图示,B,A,S,事件的相等,如果事件A包含事件B, 事件B也包含事件A, 称事件A与B相等. 即A与B中的样本点完全相同. 记作 A=B,事件的并(和),两个事件A,B 中至少有一个发生, 即“A或B“, 是一个事件, 称为事件A与B的并(和). 它是属于A或B的所有样本点构成的集合. 记作 A+B 或 AB,A,B,S,易知 A + S = S A + = A,n个事件A1,A2,An中至少有一个发生,是一个事件, 称为事件A1,A2,An的和, 记作 A1+A2+An 或 A1A2An 或记作,可列个事件的和表示可列个事件A1,A2,中至少有一个事件发
7、生, 记作,事件的交(积),两个事件A与B同时发生, 即“A且B“, 是一个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB 或 AB,易知 A S = A A = ,A,B,S,对立事件,事件“非A“称为A的对立事件(或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合. 记作,图示,A,S,显然,事件的差,事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事件A与B的差. 它是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合. 记作 AB,图示,A,B,S,易知,互不相容事件,如果事件A与B不能同时发生, 即AB=, 称事件A与B互不相容(或称互斥)
8、. 互不相容事件A与B没有公共的样本点. 显然, 基本事件间是互不相容的.,图示,A,B,S,对立事件一定互不相容, 但互不相容事件未必对立,完备事件组,若事件A1,A2,An为两两互不相容事件, 并且A1+A2+An=S, 称构成一个完备事件组或构成一个划分.,S,图示,A1,A2,A3,A4,最常用的完备事件组是某事件A与它的逆,例1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数,事件A表示“奇数点“, 事件B表示“点数小于5“, C表示“小于5的偶数点“. 用集合的列举表示法表示下列事件:,解:,S=1,2,3,4,5,6 A=1,3,5 B=1,2,3,4 C=2,4 A+B=1,2,3,4,5
9、AB=5 BA=2,4 AB=1,3 AC= C-A=2,4,例2,从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回), 事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3). 试用事件的运算符号表示下列事件: 三次都取到了合格品; 三次中至少有一次取到合格品; 三次中恰有两次取到合格品; 三次中最多有一次取到合格品.,解:,三次全取到合格品: A1A2A3 三次中至少有一次取到合格品: A1+A2+A3 三次中恰有两次取到合格品: 三次中至多有一次取到合格品:,例3 一名射手连续向某个目标射击三次,事件Ai表示该射手第i次射击时击中目标(i=1,2,3). 试用文字叙述下列事件:,解:,例4 如果x表示一个沿数轴做随机运动的质,点的位置, 试说明下列各事件的关系. A=x|x20 B=x|x3 C=x|x9 D=x|x-5 E=x|x9,A=x|x20 B=x|x3 C=x|x9 D=x|x-5 E=x|x9,解: 由图可见,ACD, BE D与B, D与E互不相容 C与E为对立事件, B与C, B与A, E与A相容, 显然A与C, A与D, C与D, B与E也是相容的,作业: 习题集第2页, 习题1-1 第2,3,4题,