概率论与数理统计第一章.ppt

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1、,湖南商学院信息系 数学教研室,第一章 概率论的基本概念,第一章 概率论的基本概念,第一节 概率论的基本概念 第二节 事 件 的 概 率 第三节 古典概率模型 第四节 条件概率 第五节 事件的独立性,一、 随机试验与事件,I. 随机试验,1. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测量等称为一个试验。如果这个试验在相同的条件下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可预知，则称此试验为随机试验，也简称为试验，记为E。 注：以后所提到的试验均指随机试验。,随机试验举例： E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几； E2: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数； E3: 对某只灯泡做试验,观察其使

2、用寿命； E4: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小 于200小时。,对于随机试验,仅管在每次试验之前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结果所组成的集合却是已知的。,若以i表示试验Ei的样本空间, i=1,2,3,4, 则 E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几， 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6；,称试验所有可能结果所组成的集合为样本空间,记为。,2. 样本空间,样本空间的元素, 即随机试验的单个结果称为样本点。,E2: 观察某城市某个月内交通事故发生次数， 2=0,1,2,； E3: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命， 3=t,t0；,E4: 对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是

3、否 小于200小时， 4=寿命小于200小时，寿命不小于200小时。,II. 随机事件 把样本空间的任意一个子集称为一个随机事件,简称事件。常用大写字母A,B,C,表示。 特别地,如果事件只含一个试验结果(即样本空间的一个元素),则称该事件为基本事件。,写出试验E1的样本空间 1=1,2,3,4,5,6的下述子集合表示什么事件？指出哪些是基本事件。 A1=1,A2=2,A6=6 分别表示掷的结果为“一点”至“六点”,都是基本事件； B=2,4,6 表示掷的结果为“偶数点”，非基本事件； C=1,3,5, 表示“掷的结果为奇数点”，非基本事件； D=4,5,6 表示“掷的结果为四点或四点以上”，

4、非基本事件。,例 1：,当结果A时, 称事件A发生。 注意： (1).由于样本空间包含了所有的样本点,且是 自身的一个子集。故,在每次试验中总 是发生。因此, 称必然事件。 (2).空集不包含任何样本点，但它也是样本空 间的一个子集,由于它在每次试验中肯定 不发生，所以称为不可能事件。,注意: 只要做试验,就会产生一个结果,即样 本空间中就会有一个点(样本点)出现。,二、事件的关系与运算,I. 集合与事件,回忆: 做试验E时,若A,则称事件A发生。,集合A包含于集合B：若对 A, 总有B，则称集合A包含于集合B，记成 AB。,事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，则称事件A包含于事件

5、B,记成AB。,集合A与B的并或和：若 C, 当且仅当 A或B,则称集合 C为集合A与B的并或和,记成AB 或 A+B。,事件A与B的并或和：若事件C发生，当且仅当事件A或C发生，则称事件C为事件A与B的并或和，记成AB 或 A+B。,若AB,且BA，则称事件A与B相等，记成A=B。,无穷多个事件A1,A2,的和,n个事件A1,A2,An的和,C发生就是A1,A2,，An中至少一个事件发生。,C发生就是A1,A2中至少一个发生。,集合A与集合B的交或积：若 C，当且仅当 A且B, 则称集合C为集合A与B的交或积, 记成AB或AB。,事件A与B的积或交： 若事件C发生，当且仅当事件A与B同时发生

6、，则称事件C为事件A与B的积或交, 记成 AB或AB。,特别地,当AB=时,称A与B为互斥事件(或互不相容事件),简称A与B互斥。也就是说事件A与B不能同时发生。,例 1(续) A1=1, A2=2,于是A1A2=。故A1与B2互斥； B=2,4,6,C=1,3,5,于是BC=,故B与C也互斥。,无穷多个事件A1,A2,的积,n个事件A1,A2,An的积,C发生就是A1,A2,，An都发生。,C发生就是A1,A2,，都发生。.,集合A与集合B的差： 若 C当且仅当 A且B ，则称集合C为集合A与B的差，记成 A- B。,事件A与B的差：若事件C发生当且仅当事件A发生且事件B不发生,则称事件C为

7、事件A与B的差,记成 A-B。,特别地，称-A为A的对立事件(或A的逆事件、补事件)等,记成A 。,例1(续) A1=1, B=2,4,6,于是,A就是A不发生。,交换律: AB=BA AB=BA 结合律: A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配律: A(BC)=ABAC A(BC)=(AB)(AC) 对偶律:,II. 事件的运算法则 (与集合运算法则相同),还有常用,不是A,B中至少 有一个发生,A,B都不发生,对于多个随机事件,上述运算规则也成立,A(A1A2An) =(AA1)(AA2)(AAn),小结,本节首先介绍了随机试验、样本空间的基本概念，然后给出了随机事件的各种运

8、算及运算法则。,湖南商学院信息系 数学教研室,第一章第二节 事 件 的 概 率,频率,一、频率与频率稳定性,则称m为事件A在n次试验中发生的频数或频次,称m与n的比值m/n为事件A在n次试验中发生的频率,记为fn(A)。,设A是一个事件在相同的条件下进行n次试验,在这n次试验中,事件A发生了m次。,当试验次数充分大时，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般说来摆动的幅度越小 。这一性质称频率的稳定性。,请看下面试验,掷硬币试验,掷骰子试验,频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小。仅管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可能各不相同，但只要 n足当大，频率就会

9、非常接近一个固定值概率。,因此，概率是可以通过频率来“度量”的。频率是概率的近似。,考虑在相同条件下进行的S 轮试验,事件A在各轮试验中的频率形成一个数列,下面我们来说明频率稳定性的含义,指的是：各轮试验次数n1, n2, , ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某固定的数值相差甚微 。,稳定在概率 p 附近,频率稳定性,这种稳定性为用统计方法求概率开拓了道路。,在实际中，当概率不易求出时，人们常用试验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，并称此概率为统计概率。,这种确定概率的方法为频率法。,例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在相同条件下大量的射击情况进

10、行观察、并记录。,假设他射击n次,中靶m次, 当n很大时,可用频率m/n作为其中靶概率之估计。,1 0 fn( A) 1； 2 fn()=1, fn()=0； 3. 若事件A1,A2,Ak两两互斥, 则:,性质,二、 事件概率,I. 概率的定义,下面介绍用公理给出的概率定义,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义。,概率的公理化定义,公理2 P()=1 ; (2),公理3 若事件A1, A2 , 两两互不相容，则有 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 。,设E是随机试验， 是它的样本空间，对于 中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函

11、数 P( ) 满足下述三条公理:,公理1,(1),公理1说明，任一事件的概率介于0与1间；,公理2说明，必然事件的概率等于1；,公理3说明，对于任何两两互不相容(互斥)的事件序列，这些序列事件并的概率等于各事件概率之和。,II、概率的性质,1.P()=0，即不可能事件的概率为零；,2.若事件A1,A,，An两两互斥,则有: P(A1A2An)=P(A1)+P(An), 即互斥事件之并的概率等于它们各自 概率之和(有限可加性);,4.对两个事件A和B,若AB, 则有: P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)P(A)。,3. 对任一事件A,均有,证明：,性质5 对任意两个事件A、B，有,因,

12、得，,再由,及性质3，得(8)式成立。,说明,n个事件并的多除少补公式,特别地，n=3时,小结,本节首先介绍了频率的概念，指出在试验次数充分大条件下，频率接近于概率结论；然后给出了概率的公理化定义及概率的主要性质。,湖南商学院信息系 数学教研室,第一章第三节 古典概率模型,I. 什么是古典概率模型,如果试验E满足 (1) 试验结果只有有限种， (2) 每种结果发生的可能性相同。 则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型，简称为等可能概型或古典概型。,II. 古典概率模型中事件概率求法,因试验E的结果只有有限种,即样本点是有限个: 1,2 ,n ，其中 =12 n， i是基本事件，且它们

13、发生的概率都相等。 于是，有 1=P()=P(12 n) =P(1)+P(2 )+P(n) =nP(i), i=1,2,n。,从而，P(i)= 1/n，i=1,2,n。,因此，若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k(1/n)=k/n。,III. 古典概模型的例,例1：,掷一颗均匀骰子， 设:A表示所掷结果为“四点或五点”； B表示所掷结果为“偶数点”。 求:P(A)和P(B)。,解：,由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3； 再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。,例2：,解:,货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品中随机地抽取两件,

14、求这两件商品来自一同产地的概率。,从15件商品中取出2商品,共有C215 =105种取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。 令 A=两件商品都来自产地甲,kA= C212=66, B=两件商品都来自产地乙,kB= C23 =3， 而事件:两件商品来自同一产地=AB,且A与B互斥,AB包含基本事件数66+3=69。 故，所求概率=69/105=23/35。,例3,：有外观相同的三极管6只,按其电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种方案抽取三极管两只, (1).每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取 下一只(放回抽样); (2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下 的三极管

15、中再抽取下一只(不放回抽样)。 设A=抽到两只甲类三极管,B=抽到两只同类三极管,C=至少抽到一只甲类三极管,D=抽到两只不同类三极管。 求：P(A),P(B),P(C),P(D)。,解:,(1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取。因第一次从6只中取一只,共有6种可能取法；第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管共有66=36 种可能的取法。从而,n=36。,注意:这种分析方法使用的是中学学过的 乘法原理,因每个基本事件发生的可能性相同,第一次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。所以,取两只甲类三极管共有 44

16、=16 种可能的取法, 即kA=16。故 P(A)=16/36=4/9； 令E=抽到两只乙类三极管,kE=22=4。故 P(E)=4/36=1/9; 因C是E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9； 因B= AE ,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9； D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。,(2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法；第二次是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法。由乘法原理，知取两只三极管共有n=65=30种可能的取法。 由乘法原理,得 kA=43=12, P(A)=12/30=2/5; kE

17、=21=2，P(E)=2/30=1/15; 由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15； 由B=AE,且A与E互斥,得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15； 由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15。,解:,例4：n个球随机地放入N(Nn)个盒子中,若盒子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球”的概率。,因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个, 故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放入N个盒子中共有Nn种不同的放法。 每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法原理得): N(N-1)(N-n+1)=ANn 种。 故， P(A)= ANn/Nn。,设每个人在一年

18、(按365天计)内每天出生的可能性都相同,现随机地选取n(n365)个人,则他们生日各不相同的概率为 A365n/365n。 于是, n个人中至少有两人生日相同的概率为 1- A365n/365n。,(请打开P14 表1.3.1),许多问题和上例有相同的数学模型。,例如(生日问题):,某人群有n个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？,把n个物品分成k组,使第一组有n1个,第二组有n2个, ,第k组有nk个,且 n= n1+ n2+nk 。 则:不同的分组方法有,公式,种。,解:,例5: 某公司生产的15件品中,有12件是正品,3件是次品。现将它们随机地分装在3个箱中,每箱装5件，设:A=

19、每箱中恰有一件次品, B=三件次品都在同一箱中。 求: P(A)和P(B)。,15件产品装入3个箱中,每箱装5件,共有,种等可能的装法。,故, 基本事件总数有,个。,续:,把三件次品分别装入三个箱中,共有3!种装法。这样的每一种装法取定以后, 把其余12件正品再平均装入3个箱中,每箱装4件,有,个基本事件。,再由乘法原理,可知装箱总方法数有,即A包含,从而，,续:,把三件次品装入同一箱中,共有3种装法.这样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品装入3个箱中(一箱再装2件,另两箱各装5件)又有,个基本事件。故，,由乘法原理，知装箱方法共有,即B包含,解:,例6：设N件产品中有K件是次品,N-K

20、件是正品,KN。现从N件中每次任意抽取1件产品,在检查过它是正品或是次品后再放回,这样共抽取了n次。 求:事件A=所取的n件产品中恰有k件次品的概率,k=0,1,2,n。,假定N件产品是有编号的,从中任意取出一件,每次都有N种取法.由乘法原理,n次共有Nn种取法,故,基本事件总数为Nn。 当所取的n件产品中恰有k件次品时,由于取到这k件次品的次序的不同,因此从次序考虑共有Cnk种情况。,续:,这Cnk种情况确定以后,从K件次品中取出k件,共有Kk种取法。从N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k种取法。由乘法原理,共有Cnk Kk (N-K)n-k种取法, A中基本事件个数为Cnk Kk

21、 (N-K)n-k。,小结,本节首先给出古典概型的定义；然后讨论了古典概型中事件概率求法：,若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k(1/n)=k/n；,最后，给出了几个古典概型中求随机事件概率的应用实例。,湖南商学院信息系 数学教研室,第一章第四节 条件概率,在解决许多概率问题时，往往需要求在有某些附加信息(条件)下事件发生的概率。,一、条件概率,1. 条件概率的概念,通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的概率为P(A|B)。,一般情况下， P(A|B) P(A) 。,第一章第四节 条件概率,P(A )=1/6，,例如：掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,

22、已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B。,于是，P(A|B)= 1/3。,B中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有1个(2点)在集合A中。,容易看到：,P(A|B),P(A )=3/10，,又如：10件产品中有7件正品，3件次品; 7件正品中有3件一等品, 4件二等品。现从这10件中任取一件，记,B=取到正品，,A=取到一等品，,P(A|B),P(A )=3/10，,B=取到正品，,P(A|B)=3/7。,本例中，计算P(A)时，依据前提条件是10件产品中一等品的比例。,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件。,这

23、好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB。 由于我们已经知道B已发生, 故B就变成了新的样本空间 , 于是 就有(1)。,设A、B是两个事件，且P(B)0，则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。,3. 条件概率的性质,设B是一事件，且P(B)0,则,1. 对任一事件A，0P(A|B)1;,2. P(|B)=1；,而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。,例如：对任意事件A1和A2 ,有 P(A1A2|B)=P(

24、A1|B)+P(A2|B)- (A1A2|B)等。,其他性质请同学们自行写出。,2)从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0。,P(A|B）=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,例1 ：掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10， B=第一颗掷出6点。,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间 中计算,例2: 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4。问现年20岁的这种动物，它能活

25、到25岁以上的概率是多少？,解:设A=能活20年以上, B=能活25年以，,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4，,所求为P(B|A) 。,条件概率P(A|B)与P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小。,P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同。,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率。,由条件概率的定义：,即 若P(B)0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2),而

26、 P(AB)=P(BA)，,二、 乘法公式,在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3),若 P(A)0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) ，,(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率。,例3: 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB)。,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,设

27、B=零件是乙厂生产，,A=是标准件，,所求为P(AB) 。,设B=零件是乙厂生产，,A=是标准件，,若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B) 。,B发生, 在P(AB)中作为结 果; 在P(A|B)中作为条件。,当P(A1A2An-1)0时，有 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)。,推广到多个事件的乘法公式:,解:,例 4:,一批灯泡共100只,其中10只是次品,其余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品的概率。,设Ai =第i次取到正品, i=1,2,3。 A=第三次才取到正品。 则:,解

28、:,例5:,袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球c个。若B=第一，第三次取到红球,第二次取到黑球，求P(B)。,设Ai=第i次取到红球, i=1,2,3, 则:,一场精彩的足球赛将要举行, 但5个球迷只搞到一张球票，但大家都想去。没办法，只好用抽签的方法来确定球票的归属。,5张同样的卡片，只有一张上写有“球票”，其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取。,先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？,后抽的人比先抽的人吃亏吗？,请回答：,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场

29、券”的概率到底有多大?,“大家不必争，你们一个一个按次序来， 谁抽到入场券的机会都一样大。”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”， i1,2,3,4,5。,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5，,第1个人抽到入场券的概率是1/5。,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”，,因为若第2个人抽到 入场券时，第1个人 肯定没抽到。,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式， 得,计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5。,这就是有关抽签顺序问题的正确解答,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2

30、个人都没有抽到。因此，,=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5。,抽签不必争先恐后。,请看演示,“抽签问题”,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。,综合运用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,三、全概率公式和贝叶斯公式,例6: 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率。,解

31、：记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球。,即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥。,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,1,2,3,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。,对求和中的每一项 运用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15。,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0， i =1,2,n, 另有一事件B, 它总是与A1, A2, ,An之一同时发

32、生，则,全概率公式:,设S为随机试验的样本空间，A1,A2,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n,称满足上述条件的A1,A2,An为完备事件组。,则对任一事件B，有,在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：,在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai ，使B伴随着某个Ai的出现而出现，且每个 容易计算。可用所有 之和计算P(B)。,由上式不难看出:,“全部”概率P(B)可分成许多“部分”概率 之和。,它的理论和实用意义在于:,某一事件B的发生有各种可能的原因Ai (i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能

33、导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式。,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式。,我们还可以从另一个角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成是 “由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系 。,诸Ai是原因 B是结果,例 7: 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞 机被一人击中而击落的概率为0.2, 被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率。,设B=飞机被击落， Ai

34、=飞机被i人击中, i=1,2,3。,由全概率公式， 得 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),则 B=A1B+A2B+A3B，,解:,可求得,为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3。,将数据代入计算，得 P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。,于是 ， P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3),=0.458，,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458。,该球取自哪号箱的可能性大些?

35、,实际中还有下面一类问题已知结果求原因,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。,某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球, 求该球是取自1号箱的概率。,或者问:,接下来我们介绍解决这类问题的,贝叶斯公式,有三个箱子，编号分别为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 。,1,1红4白,某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率。,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球。,求P(

36、A1|B)。,运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率。,贝叶斯公式：,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n, 另有一事件B，它总是与A1,A2,An 之一同时发生，则,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,例 8: 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人

37、是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,求解如下:,设 C=抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性，,求P(C|A)。,已知: P(C)=0.005, P(A|C)=0.95,现在来分析一下结果的意义,由贝叶斯公式，得,代入数据， 计算得 P(CA)= 0.1066。,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率 P(C)=0.005 。,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)= 0.1066 。,说明这种试验对于诊断一个人是否

38、患有癌症有意义。,从0.005增加到0.1066, 将近增加约21倍。,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066。,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认。,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为 原因的验前概率和验后概率。,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下, 人们对诸事件发生可能性大小的认识。,当有

39、了新的信息(知道B发生), 人们对诸事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计。,8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶。 求:所用的枪是校准过的概率。,设A=射击时中靶,B1=使用的枪校准过, B2=使用的枪未校准,则B1,B2是一个划分,由贝叶斯公式,解:,例9：,解:,例 10:,一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%, 25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%和1%。现

40、从该批螺钉中抽到一颗次品。求:这颗螺钉由I, II, III号机器生产的概率各为多少?,设A=螺钉是次品, B1=螺钉由1号机器生产, B2=螺钉由2号机器生产,B3=螺钉由3号机器生产。则:,由贝叶斯公式，得,同理,P(B1)=0.35, P(B2)=0.40, P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01。,小结,本节首先介绍了条件概率的定义及其计算公式；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从各方面分析、讲解了上述公式理论意义、实际意义及应用范围。但这还远远不够，为达到正确理解、熟练运用这些公式的

41、目的，我们还需要做一定数量的习题，并从中揣摩出这些公式的内涵。,湖南商学院信息系 数学教研室,第一章第五节 事件的独立性,显然 P(A|B)=P(A)。,这就是说：已知事件B发生，并不影响事件A发生的概率，这时称事件A、B独立。,一、两事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)。,用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好，它不受P(B)0或P(A)0的制约。,P(AB)=P(B)P(A|B),

42、若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B独立，或称A、B相互独立。,两事件独立的定义,例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的。,可见, P(AB)=P(A)P(B)。,由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立。,问事件A、B是否独立？,解：,P(AB)=2/52=1/26。,P(B)=26/52=1/2，,前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的。,在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是

43、否独立 。,由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立。,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 。,(即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率)。,一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai=第i件是合格品， i=1,2。,若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。,因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响。,又如：,因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响。,若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立。,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即: 若A、

44、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立。,反之，若A与B独立，且P(A)0, P(B)0, 则A 、B不互斥。,而P(A) 0, P(B) 0。,故 A与B不独立。,我们来计算：,P(AB)=0,问：能否在样本空间中找两个事件,它们既相互独立又互斥?,这两个事件就是 和,所以， 与独立且互斥。,不难发现， 与任何事件都独立。,设A、B为互斥事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。,设A、B为独立事件，且

45、P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。,再请你做个小练习。,= P(A)- P(AB),P(A )= P(A - A B),A、B独立,故A与 独立。,概率的性质,= P(A)- P(A) P(B),证明: 仅证A与 独立。,=P(A)1-P(B) =P(A)P( ),二、多个事件的独立性,将两事件独立的定义推广到三个事件：,推广到n个事件的独立性定义, 可类似地刺蛾出: 设A1,A2, ,An是 n个事件，如果对任意k ( ), 任意 ，等式,包含等式总数

46、为：,成立，则称n个事件A1,A2, ，An相互独立。,请注意多个事件两两独立与事件两两相互独立的区别与联系,两两独立,相互独立,对n(n2)个事件,?,对独立事件，许多概率计算可得到简化：,例2: 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解：将三人编号为1，2，3，,三、独立性概念在计算概率中的应用,所求为 P(A1+A2+A3)。,记 Ai=第i个人破译出密码 ， i=1,2,3。,已知 ：P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4。,P(A1+A2+A3),=1-1-P(A1)1-P(A

47、2)1-P(A3),则,请看演示,“诸葛亮和臭皮匠”,n个独立事件和的概率公式:,设事件 相互独立,则,P(A1+An),也相互独立,也就是说: n个独立事件至少有一个发生 的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。,则“ 至少有一个发生”的概率为,P(A1+An) =1- (1-p1 ) (1-pn )。,类似地，可以得出：,=1- p1 pn,例3：下面是一个串并联电路示意图。 A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件，各自下方的数字表示其正常工作之概率。 求电路正常工作的概率。,P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)。,解：将电路正常工作记成W。由于各元件独立工作，所以有,其中,P(C+D+E)=1-,P(F+G)=1-,P(W) 0.782。,代入得,解:,例4 ：,验收100件产品的方案如下，从中任取3件进行独立地测试,如果至少有一件被断定为次品,则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95,一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99,并已知这100件产品恰有4件次品。求此批产品能被接收的概率。,设 A=此批产品被接收， Bi=取出3件产品中恰有i件是次