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1、,第四节 线性方程组解的结构,(1) n个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A) n. (2) n个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B=(A | b)的秩相等, 且当R(A)=R(B)=n时有唯一解; 当R(A)=R(B)n时有无穷多解;,前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法, 并建立了两个重要定理:,一、齐次线性方程组的解,设有齐次线性方程组,若记,则上述方程组可写成向量方程,Ax = 0.,若x1=11, x2=21, , xn=n1为方程组Ax = 0的解, 则,称为方程组Ax = 0
2、的解向量.,(1) 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是Ax = 0的解.,证明: 因为 A1 = 0, A2 = 0,所以,A(1 + 2) = A1 + A2 = 0,故 x =1 + 2也是Ax = 0的解.,(2) 若x = 1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k1也是 Ax = 0的解.,证明: 因为 A1 = 0,所以,A(k1) = kA1 = k 0 = 0,故 x = k1也是Ax = 0的解.,这两个性质表明, Ax = 0的全体解向量所组成的集合对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间, 称此向量空间为齐次方程组 A
3、x = 0 的解空间.,二、基础解系及其求法,称向量组1, 2, , t为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系, 如果,(1) 1, 2, , t 是Ax = 0的解的一个最大无关组; (2) Ax = 0的任一解都可由1, 2, , t 线性表出.,如果向量组1, 2, , t 为齐次线性方程组Ax = 0的一组基础解系, 那么, Ax = 0的通解可表示为: x = k11 + k22 + + ktt 其中k1, k2, , kt为任意常数.,设齐次线性方程组Ax = 0的系数矩阵A的前 r 个列向量线性无关, 于是A可化为:,即有方程组,(1),现对( xr+1, , xn )T 取下列
4、 nr 组数(向量):,分别代入方程组(1)依次得:,从而求得原方程组的 nr个解:,定理1: 当 n元齐次线性方程组 Amnx = 0的系数矩阵的秩R(A)=r时, 解集S的秩为 nr .,依据以上的讨论，还可推得,当R(A)=n时, 方程组Ax = 0只有零解, 故没有基础解系(此时解空间只含一个零向量, 为0维向量空间).,当R(A)=r n时, 方程组Ax=0必有含nr个向量的基础解系1, 2, , n-r . 因此由最大无关组的性质可知，方程组Ax=0的任何nr个线性无关的解都可构成它的基础解系. 并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的,它的通解的形式也不是唯一的.,例1:
5、求齐次线性方程组,的基础解系与通解.,有,解: 对系数矩阵A作初等行变换, 变为行最简矩阵,得,即得基础解系:,并由此得通解:,例2: 设AmnBnl = Oml , 证明R(A)+R(B) n.,证明: 设B =(b1, b2, , bl ), 则,AB = A(b1, b2, , bl ) = (0, 0, , 0 ) = Oml ,即,Abi = 0 ( i =1, 2, , l),也就是说, B的每个一列向量都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量.,R(B)=R(b1, b2, ,bl ) nR(A).,R(A)+R(B) n.,性质知: 方程组Ax=0的解向量组的秩为nR
6、(A),由齐次线性方程组解的,因此,故,三、非齐次线性方程组的解,证明: 因为 A1=b, A2=b,(1) 设 x=1 及 x=2 都是方程组 Ax=b 的解, 则 x=12为对应齐次方程组Ax=0的解.,所以,A(12) = A1A2 = b b = 0.,故, x=12为对应齐次方程组Ax=0的解.,(2) 设 x= 是方程组 Ax=b 的解, x= 是方程组 Ax=0 的解, 则 x=+ 仍为方程组 Ax=b 的解.,证明: 因为 A=b, A=0,所以,A(+) = A +A = 0 + b = b.,故, x=+ 为方程组 Ax=b 的解.,其中 k11+k22+kn-rn-r 为
7、对应齐次线性方程组Ax=0的通解, *为非齐次线性方程组Ax=b的任意一个特解.,非齐次线性方程组Ax=b的通解为:,x = k11 + k22 + + kn-rn-r +*.,例4: 求解方程组,解: 对增广矩阵B施行初等行变换:,可见R(A)=R(B)=2,故方程组有解, 并有,取 x2 = x4 = 0, 则x1 = x3 =,即得方程组的一个解,取,即得对应的齐次线性方程组的基础解系为:,于是所求通解为:,一、向量空间的概念,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作 .,1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,第五节 向量空间,定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,解,试判断集合是否为向量空间.,三、向量空间的基与维数,定义2 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,