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1、第一节 点估计,一、点估计问题的提法,二、估计量的求法,三、小结,一、点估计问题的提法,设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的一个或多个参数为未知, 借助于总体 X 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.,例1,解,由于用样本均值依概率收敛于总体的均值，,所以,点估计问题的一般提法,二、估计量的求法,由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 如何求估计量是关键问题.,常用构造估计量的方法: (两种),矩估计法和最大似然估计法.,1. 矩估计法,(X为连续型),(X为离散型),矩估计法的定义,用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估
2、计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.,矩估计法的具体做法:,矩估计量的观察值称为矩估计值.,解,根据矩估计法 ,例3,解,例4,解方程组得到 a , b 的矩估计量分别为,解,例5,解,解方程组得到矩估计量分别为,例6,上例表明:,总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异.,一般地 ,2. 最大似然估计法,似然函数的定义,最大似然估计法,似然函数的定义,求最大似然估计量的步骤:,最大似然估计法是由费舍尔引进的.,最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况. 此时只需令,对数似然方程组,对数似然方程,解,似然函数,例7,这一估计量与矩估计量是相同的.,解,例8,这一
3、估计量与矩估计量是相同的.,解,X 的似然函数为,例9,它们与相应的矩估计量相同.,解,例10,最大似然估计的性质,U .,证明,此性质可以推广到总体分布中含有多个未知参数的情况.,如例9中,三、小结,两种求点估计的方法:,矩估计法,最大似然估计法,在统计问题中往往先使用最大似然估计法, 在最大似然估计法使用不方便时, 再用矩估计法.,第二节 估计量的评选标准,一、问题的提出,二、无偏性,三、有效性,四、相合性,五、小结,一、问题的提出,从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同, 如第一节的例4和例10. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数
4、的估计量.,问题,(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?,(2)评价估计量的标准是什么?,下面介绍几个常用标准.,二、无偏性,无偏估计的实际意义: 无系统误差.,证,例1,特别的:,不论总体 X 服从什么分布,只要它的数学期望存在,证,例2,(这种方法称为无偏化).,三、有效性,由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好.,四、相合性,例如,五、小结,估计量的评选的三个标准,无偏性,有效性,相合性,相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备相合性的估计量是不予以考虑的.,由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条件下也具有相合性.,估计量的相合性只有当样本容量
5、相当大时,才能显示出优越性, 这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准.,第四节 区间估计,一、区间估计的基本概念,二、典型例题,三、小结,一、区间估计的基本概念,1. 置信区间的定义,关于定义的说明,若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n),按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,2. 求置信区间的一般步骤(共3步),解,例1,二、典型例题,这样的置信区间常写成,其置信区间的长度为,今抽9件测量其长度, 得数据如下(单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160.,解,例2,三、小结,点估计不能反映估
6、计的精度, 故而本节引入了区间估计.,求置信区间的一般步骤(分三步).,第五节 正态总体均值与方差的 区间估计,一、单个总体的情况,二、两个总体的情况,三、小结,一、单个总体 的情况,由上节例2可知:,1.,包糖机某日开工包了12包糖,称得质量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布,解,附表2-1,例1,附表2-2,查表得,推导过程如下:,解,有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重量(克)如下:,设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值,附表3-1,例2,就是说估计袋装糖果重量的均值在5
7、00.4克与507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.,这个误差的可信度为95%.,解,附表3-2,例3,(续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布,解,例4,推导过程如下:,根据第六章第二节定理二知,2.,进一步可得:,注意: 在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).,(续例2) 求例2中总体标准差的置信度为0.95的置信区间.,解,代入公式得标准差的置信区间,附表4-1,附表4-2,例5,解,例6 (续例1),二、两个总体 的情况,讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题.,推导过程如下:,1.,解,由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),解,由题意,
8、 两总体样本独立且方差相等(但未知),推导过程如下:,2.,根据F分布的定义, 知,解,解,三、小结,附表2-1,标准正态分布表,1.645,1.96,附表2-2,标准正态分布表,附表3-1,分布表,2.1315,2.2010,附表3-2,分布表,附表4-2,分布表,6.262,附表4-1,分布表,27.488,第七节 单侧置信区间,二、基本概念,三、典型例题,一、问题的引入,四、小结,一、问题的引入,但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的“上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.,二、基本概念,1. 单侧置信区间的定义,2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间,三、典型例题,设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限.,解,例1,解,例2,四、小结,