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1、2019/7/15,1,概率论第1讲,第一章 预备知识,本文件可从网址 http:/ 上下载,2019/7/15,2,概率论是研究随机事件的规律性的一个数学分支, 直观地说是指这样的事件: 在一次试验中, 它出现与否是具有偶然性的, 但是在大量重复试验中, 它却是具有内在的必然性即规律性的.,2019/7/15,3,第一章 预备知识,第一节 排列与组合,2019/7/15,4,乘法原理: 如果一个过程可以分成两个阶段进行, 第一个阶段有m种不同的做法, 第二个阶段有n种不同的做法, 且第一个阶段的任一种做法都可以与第二个阶段的任一种做法配成整个过程的一种做法, 那末整个过程应该有mn种的做法.
2、,2019/7/15,5,一, 排列 从n个不同的元素中, 任意取出r个不同的元素(0 r n)按照一定的顺序排成一列, 这样的一列元素叫做从n个不同元素中取r个不同元素组成的一种排列. 对于所有不同排列的种数, 通常表示为,2019/7/15,6,先设0rn, 每一种排列由在r个有次序位置上各放上一个元素所组成. 第一个位置上的元素有n种不同的取法; 在它取定之后, 第二个位置上的元素只有n-1种不同的取法; 前两个元素取定之后, 第三个位置上的元素只有n-2种不同的取法; 依次类推, 第r个位置上的元素只有n-r+1种不同的取法, 因此按乘法原理, 所求排列种数为,2019/7/15,7,
3、或改写为,2019/7/15,8,当r=n时, 所求排列种数为n!. 若规定0!=1, 则上式仍然成立. 因此, 当0rn时, 上述排列问题的答案总可以表达成,2019/7/15,9,例1 计算从八个不同的元素中任取三个的排列种数. 解 所求排列种数为,2019/7/15,10,例2 从1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不同的数组成的三位数中有几个是偶数? 解 所得的三位数是偶数, 它的个位上应是2,4,6中的一个. 因此, 按置在个位上的数有三种不同的取法, 而十位, 百位上的数共有65种不同的取法. 从而所求的个数为 365=90,2019/7/15,11,以上排列问题中参加排列的
4、元素是不允许重复的. 但有时需要考虑允许重复的情况, 例如电话号码就允许数字重复. 现考虑从n个各不相同的元素里任取一个, 然后放回去, 再取一个, 然后又放回去, 这样共进行r次, 问所得不同的排列共有多少种? 显然, 这种情况下排列种数共有,2019/7/15,12,例3 用0,1,2,.,9这十个数字组成三位数, 在这些三位数中, (1) 如考虑数字可以重复, 问可以组成多少不同的三位数? (2) 三个数字没有重复的有几个? (3) 三个数字都相同的有几个? (4) 只有两个数字相同的有几个?,2019/7/15,13,解 (1) 在数字可以重复的情况下, 计算能组成多少个不同的三位数时
5、, 由于百位数上不能放置0, 所以组成的不同的三位数的个数应为 91010=900,2019/7/15,14,(2) 百位上的数字有9种不同的取法. 在百位上的数字取定后, 十位上的数字有9种不同的取法. 在百位和十位上的数字都取定后, 个位上的数字只有8种不同的取法, 所以没有重复数字的三位数的个数为 998=648.,2019/7/15,15,(3) 由于百位上的数字有9种不同的取法, 在百位上的数字取定后, 十位上及个位上的数字随之而定, 所以三个数字都相同的三位数的个数为9.,2019/7/15,16,(4) 只有百位上与十位上的数字相同的三位数的个数为99, 只有十位上与个位上的数字
6、相同的三位数的个数为99, 只有百位上与个位上的数字相同的三位数的个数为99. 所以只有两个相同数字的三位数的个数为 99+99+99=243,2019/7/15,17,二, 组合 设有n个不同的元素, 从它们中间任取r个(0 r n)构成一组. 这里, 不考虑这r个元素的次序, 只研究有多少种不同的取法, 这就是组合问题. 称每一个取得的组为一个组合. 对于所有不同的组合的种数, 通常把它记作,2019/7/15,18,从n个不同元素中任取r个元素出来, 得到一个组合, 对这r个元素进行各种排列, 共得r!种不同的排列, 但所有这些排列均是由一种组合变来的, 所以排列的种数,是组合种数,的r
7、!倍, 即,2019/7/15,19,例4 有五本不同的数学书, 八本不同的物理书, 从中任取两本数学书, 四本物理书. 问有多少种不同的取法? 解 从五本数学书中任取两本, 种数为,从八本物理书中任取四本, 种数为,因此所求总数为1070=700.,2019/7/15,20,第二节 集合,2019/7/15,21,集合, 有时简称为集, 是具有某种特定性质的事物所组成的集体. 通常用大写字母A,B,C,.来表示集合. 组成集合的各个事物称为这集合的元素. 如果e是集合A的一个元素, 便记作eA. 如果e不是A的元素记作eA. 如果集合A是由元素e1,e2,.等组成的, 记作 A=e1,e2,
8、.,2019/7/15,22,集合的元素可以是任意种类的对象: 点, 数, 函数, 事件, 人等等. 例如, (1) 全体自然数组成的集合A, 表示为: A=1,2,.; (2)在给定直线上全体点组成的集合; (3)平面上区域D中所有点组成的集合; (4)数轴上所有区间组成的一个集合; (5)定义域为区间(a,b)的所有连续函数; (6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集合.,2019/7/15,23,在讨论集合时, 重复的元素只算一次. 例如把1,2,2,3与1,2,3看作是同一个集合.,2019/7/15,24,如果一个集合中只有有限多个元素, 称这集合为有限集. 如果一个集合中有无限多个元
9、素, 称这集合为无限集. 如果一个无限集中的诸元素能与全体自然数构成一一对应关系, 则称这无限集为可数集或可列集, 否则为不可数集.,2019/7/15,25,2019/7/15,26,集合之间的关系与集合的运算,2019/7/15,27,一, 子集 如果属于集合A的任一元素都属于集合B, 则称集合A是集合B的子集, 记作AB(或BA), 读作A含于B(或B包含A).,B,A,2019/7/15,28,例如, 由所有偶数组成的集合是由所有整数组成的集合的子集; 区间(1,2)是区间(1,4)的子集. 特别地, 一个集合A是它自己的一个子集. 显然, 当AB且BC时, AC.,2019/7/15
10、,29,为了讨论方便, 把不含任何元素的集合称为空集, 记作. 把空集作为任一集合A的子集, 即对任一集合A, A. 如果AB且BA, 则称集合A,B相等, 记作A=B,书上印错,2019/7/15,30,二, 并集 由至少属于集合A或集合B二者之一的所有元素所组成的集合称为集合A与集合B的并集, 记作AB.,A,B,2019/7/15,31,例如, 集合1,2,3与集合3,4,5的并集为 集合1,2,3,4,5; 区间(1,3)与(2,4)的并集为区间(1,4); 区间(-,3)与区间(-,1)的并集为 区间(-,3),2019/7/15,32,由平面上坐标满足1x2的点的全体组成的集合与由
11、坐标满足2y4的点的全体组成的集合的并集如图所示:,O,1,2,2,4,y,x,2019/7/15,33,三, 交集 由同时属于集合A及集合B的所有元素所组成的集合称为集合A与集合B的交集, 记作AB,A,B,2019/7/15,34,例如, 区间(-, 3)与区间(1, +)的交集为区间(1,3); 由平面上圆x2+y2=1内的所有点的集合与由横坐标大于零的所有点组成的集合的交集如图所示的右半圆.,x,y,1,1,O,2019/7/15,35,如果AB=, 即A,B无公共元素, 就称集合A与集合B互不相交. 例如, 由所有正数组成的集合与由所有负数组成的集合互不相交; 区间(1,2)与区间(
12、2,3)互不相交.,2019/7/15,36,集合的并与交满足如下的分配率: (AB)C=(AC)(BC).,A,B,C,2019/7/15,37,证 下列诸关系式是相互等价的: e(AB)C, eAB且eC, eAC或eBC, e(AC)(BC). 从而上述分配律成立.,2019/7/15,38,集合的并及交可以从两个推广到有限多个或可数多个集合上去, 诸集合A1,A2,.的并集A1A2.就是由至少属于A1,A2,.中一个的所有元素组成的集合; 诸集合A1,A2,.的交集A1A2.就是由同时属于A1,A2,.的所有元素组成的集合. 分配律对于有限个或可数多个集合的并集也成立,即 (A1A2.
13、)C=(A1C)(A2C).,2019/7/15,39,四, 差集 余集 设A,B为任意两个集合, 称由属于集合A而不属于集合B的所有元素组成的集合为集合A与集合B的差集, 记作A-B,A,B,2019/7/15,40,例如, 区间(1,4)与区间(0,2)的差集为区间2,4). 特殊地, 如果A与B不相交, 则 A-B=A,2019/7/15,41,设BU, 称U-B为B在U内的余集, 记作,B,U,2019/7/15,42,例如, 当U为整个数轴时, 区间(-,a)在U内的余集为a,+),2019/7/15,43,下面给出几条关于余集的性质, 设A,B,.等都是U的子集, 为简便起见, 略去表达余集时的下标U.,2019/7/15,44,作业: 第10页开始 第1,2,3,4,5,6,7,8题,